Phương pháp tính tích phân

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(33 câu)

Câu 1.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{3} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{4}$

B.$I = \dfrac{1}{5}$

C.$I = \dfrac{3}{4}$

D.$I = \dfrac{1}{3}$

Câu 2.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-2}^{2} |x - 1|\,dx$.

A.$I = 5$

B.$I = -4$

C.$I = -5$

D.$I = 4$

Câu 3.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{4} x \ln x\,dx$.

A.$I = 8\ln 4 + \dfrac{15}{4}$

B.$I = 8\ln 4 - \dfrac{15}{4}$

C.$I = 8\ln 4 - \dfrac{15}{2}$

D.$I = 8\ln 4$

Câu 4.Tính $\displaystyle\int_{1}^{2} (2 x - 3)^{2}\,dx$ bằng phương pháp đổi biến.

A.$I = \dfrac{4}{3}$

B.$I = \dfrac{1}{3}$

C.$I = \dfrac{2}{3}$

D.$I = - \dfrac{1}{3}$

Câu 5.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{2} x \ln x\,dx$.

A.$I = 2\ln 2$

B.$I = 2\ln 2 - \dfrac{3}{4}$

C.$I = 2\ln 2 + \dfrac{3}{4}$

D.$I = 2\ln 2 - \dfrac{3}{2}$

Câu 6.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{3} x \ln x\,dx$.

A.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3$

B.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 - 4$

C.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 + 2$

D.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 - 2$

Câu 7.Tính $\displaystyle\int_{1}^{4} (3 x + 2)^{3}\,dx$ bằng phương pháp đổi biến.

A.$I = \dfrac{37791}{4}$

B.$I = \dfrac{12597}{4}$

C.$I = - \dfrac{12597}{4}$

D.$I = \dfrac{12601}{4}$

Câu 8.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{4} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{4}$

B.$I = \dfrac{1}{5}$

C.$I = \dfrac{4}{5}$

D.$I = \dfrac{1}{6}$

Câu 9.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{5} x \ln x\,dx$.

A.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5$

B.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5 + 6$

C.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5 - 6$

D.$I = \dfrac{25}{2}\ln 5 - 12$

Câu 10.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 1)^{2}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{7}{6}$

B.$I = \dfrac{13}{6}$

C.$I = \dfrac{7}{3}$

D.$I = \dfrac{7}{6}$

Câu 11.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$.

A.$I = \pi$

B.$I = \dfrac{\pi}{2}$

C.$I = 4$

D.$I = 2 \pi$

Câu 12.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{2}^{4} \dfrac{1}{(x + 3)(x - (1))}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{4} - \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(7 \right)}}{4}$

B.$I = - \dfrac{\log{\left(7 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(15 \right)}}{4} + \log{\left(2 \right)}$

C.$I = \log{\left(\dfrac{\sqrt{105}}{7} \right)}$

D.$I = - \dfrac{\log{\left(7 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{4}$

Câu 13.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = -1 + \dfrac{2}{e}$

B.$I = 1 - \dfrac{2}{e}$

C.$I = 2 - \dfrac{4}{e}$

D.$I = 2 - \dfrac{2}{e}$

Câu 14.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{0}^{3} |x - 1|\,dx$.

A.$I = \dfrac{7}{2}$

B.$I = - \dfrac{5}{2}$

C.$I = \dfrac{3}{2}$

D.$I = \dfrac{5}{2}$

Câu 15.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 1)^{4}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{31}{10}$

B.$I = \dfrac{41}{10}$

C.$I = \dfrac{31}{5}$

D.$I = \dfrac{31}{10}$

Câu 16.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{3} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{3}{4}$

B.$I = \dfrac{1}{3}$

C.$I = \dfrac{1}{4}$

D.$I = \dfrac{1}{5}$

Câu 17.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{5}^{6} \dfrac{1}{(x - (0))(x - (4))}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{\log{\left(6 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{4}$

B.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{4} - \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(6 \right)}}{4}$

C.$I = \log{\left(\dfrac{\sqrt{15}}{3} \right)}$

D.$I = - \dfrac{\log{\left(6 \right)}}{4} + \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{4} + \dfrac{5 \log{\left(2 \right)}}{4}$

Câu 18.Tính $\displaystyle\int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = 2 - \dfrac{6}{e^{2}}$

B.$I = 1 - \dfrac{3}{e^{2}}$

C.$I = 2 - \dfrac{3}{e^{2}}$

D.$I = -1 + \dfrac{3}{e^{2}}$

Câu 19.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_1^{3} x \ln x\,dx$.

A.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 - 4$

B.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 + 2$

C.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3 - 2$

D.$I = \dfrac{9}{2}\ln 3$

Câu 20.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{0}^{5} |2x - 4|\,dx$.

A.$I = -13$

B.$I = 14$

C.$I = 5$

D.$I = 13$

Câu 21.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx$.

A.$I = 4$

B.$I = 2 \pi$

C.$I = \pi$

D.$I = \dfrac{\pi}{2}$

Câu 22.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi} e^x \cos x\,dx$.

A.$I = - e^{\pi} - 1$

B.$I = \dfrac{1}{2} + \dfrac{e^{\pi}}{2}$

C.$I = - \dfrac{e^{\pi}}{2} - \dfrac{1}{2}$

D.$I = \dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{\pi}}{2}$

Câu 23.Tính $\displaystyle\int_{0}^{2} x e^{2x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = \dfrac{5}{4} + \dfrac{3 e^{4}}{4}$

B.$I = - \dfrac{3 e^{4}}{4} - \dfrac{1}{4}$

C.$I = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3 e^{4}}{2}$

D.$I = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3 e^{4}}{4}$

Câu 24.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{1}{(x + 2)(x - (0))}\,dx$.

A.$I = - \log{\left(3 \right)} + \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{2}$

B.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \log{\left(3 \right)}$

C.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \log{\left(6 \right)}$

D.$I = \log{\left(\dfrac{9}{5} \right)}$

Câu 25.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = e$

B.$I = 2$

C.$I = 1$

D.$I = -1$

Câu 26.Tính $\displaystyle\int_{2}^{3} (- 2 x - 2)^{3}\,dx$ bằng phương pháp đổi biến.

A.$I = 700$

B.$I = -349$

C.$I = 350$

D.$I = -350$

Câu 27.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{1}^{4} |2x - 6|\,dx$.

A.$I = 5$

B.$I = -3$

C.$I = -5$

D.$I = 3$

Câu 28.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

A.$I = \dfrac{1}{2} + \dfrac{e^{2}}{2}$

B.$I = \dfrac{1}{4} + \dfrac{e^{2}}{4}$

C.$I = - \dfrac{e^{2}}{4} - \dfrac{1}{4}$

D.$I = \dfrac{5}{4} + \dfrac{e^{2}}{4}$

Câu 29.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{3}^{6} \dfrac{1}{(x + 1)(x - (2))}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{\log{\left(7 \right)}}{3} + \dfrac{7 \log{\left(2 \right)}}{3}$

B.$I = - \dfrac{2 \log{\left(7 \right)}}{3} + \dfrac{8 \log{\left(2 \right)}}{3}$

C.$I = - \dfrac{4 \log{\left(2 \right)}}{3} + \dfrac{\log{\left(7 \right)}}{3}$

D.$I = - \dfrac{\log{\left(7 \right)}}{3} + \dfrac{4 \log{\left(2 \right)}}{3}$

Câu 30.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{(x + 3)(x + 2)}\,dx$.

A.$I = \log{\left(\dfrac{16}{9} \right)}$

B.$I = - \log{\left(\dfrac{4}{3} \right)}$

C.$I = \log{\left(\dfrac{4}{3} \right)}$

D.$I = \log{\left(\dfrac{8}{3} \right)}$

Câu 31.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{2} x \cos x\,dx$.

A.$I = \dfrac{1}{4}$

B.$I = \dfrac{1}{2}$

C.$I = \dfrac{2}{3}$

D.$I = \dfrac{1}{3}$

Câu 32.Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{1}{(x + 2)(x - (1))}\,dx$.

A.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{3} + 2 \log{\left(2 \right)}$

B.$I = - \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{3} + \log{\left(2 \right)}$

C.$I = - \log{\left(2 \right)} + \dfrac{\log{\left(5 \right)}}{3}$

D.$I = \log{\left(\dfrac{4 \sqrt[3]{5}}{5} \right)}$

Câu 33.Tính $\displaystyle\int_{0}^{1} x (x^2 + 2)^{2}\,dx$.

A.$I = \dfrac{19}{3}$

B.$I = \dfrac{19}{6}$

C.$I = - \dfrac{19}{6}$

D.$I = \dfrac{25}{6}$

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(10 câu)

Câu 34.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^2\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi đổi biến, KHÔNG cần đổi cận của tích phân xác định.

b)Khi $x = 0 \Rightarrow u = 1$; $x = 1 \Rightarrow u = 3$.

c)Đổi biến $u = 2x + 1$ giúp đơn giản tích phân $(2x+1)^2$.

d)Đặt $u = 2x + 1$ thì $du = 2\,dx$.

Câu 35.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi đổi biến trong tích phân xác định, phải đổi cận theo biến mới.

b)$\int_0^1 x e^x\,dx = 1$.

c)Tích phân $\int x e^x\,dx$ tính được bằng đổi biến đơn thuần.

d)Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

Câu 36.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int_0^1 x e^x\,dx = e$.

b)Tích phân $\int x e^x\,dx$ tính được bằng đổi biến đơn thuần.

c)Đặt $u = e^x, dv = x\,dx$ thì $du = e^x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$.

d)Khi đổi biến trong tích phân xác định, phải đổi cận theo biến mới.

Câu 37.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^3\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi tích phân đều tính được bằng đổi biến đơn giản.

b)$\int_0^1 (2x+1)^3\,dx = \dfrac{1}{2} \int_1^3 u^3\,du$.

c)$\int_0^1 (2x+1)^3\,dx = 10$.

d)$\int (2x+1)^3\,dx = \dfrac{(2x+1)^4}{2(n+1)} + C$ (với $n \neq -1$).

Câu 38.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^3\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đặt $u = 2x + 1$ thì $du = 2\,dx$.

b)$\int_0^1 (2x+1)^3\,dx = 10$.

c)Khi đổi biến, KHÔNG cần đổi cận của tích phân xác định.

d)Mọi tích phân đều tính được bằng đổi biến đơn giản.

Câu 39.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int_0^1 x e^x\,dx = e$.

b)Đặt $u = x$, $dv = e^x\,dx$, ta có $du = dx$, $v = e^x$.

c)Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

d)Khi đổi biến trong tích phân xác định, phải đổi cận theo biến mới.

Câu 40.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x - 1) e^x + C$.

b)Tích phân $\int x e^x\,dx$ tính được bằng đổi biến đơn thuần.

c)$\int_0^1 x e^x\,dx = 1$.

d)Đặt $u = e^x, dv = x\,dx$ thì $du = e^x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$.

Câu 41.Xét tích phân $I = \int_0^1 (2x+1)^2\,dx$ (tính bằng phương pháp đổi biến). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi đổi biến, KHÔNG cần đổi cận của tích phân xác định.

b)$\int (2x+1)^2\,dx = \dfrac{(2x+1)^3}{2(n+1)} + C$ (với $n \neq -1$).

c)Đổi biến $u = 2x + 1$ giúp đơn giản tích phân $(2x+1)^2$.

d)Mọi tích phân đều tính được bằng đổi biến đơn giản.

Câu 42.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đặt $u = x$, $dv = e^x\,dx$, ta có $du = dx$, $v = e^x$.

b)$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x - 1) e^x + C$.

c)$\int_0^1 x e^x\,dx = e$.

d)Đặt $u = e^x, dv = x\,dx$ thì $du = e^x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$.

Câu 43.Xét tích phân $I = \int_0^1 x e^x\,dx$ (tính bằng phương pháp tích phân từng phần). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích phân $\int x e^x\,dx$ tính được bằng đổi biến đơn thuần.

b)$\int_0^1 x e^x\,dx = e$.

c)$\int_0^1 x e^x\,dx = 1$.

d)Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

Phần III. Trả lời ngắn(8 câu)

Câu 44.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{2}\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 45.Tính $\int_{0}^{1} x e^x\,dx$.

Câu 46.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{4}\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 47.Tính $\int_{0}^{1} x e^x\,dx$.

Câu 48.Tính $\int_{0}^{1} x e^x\,dx$.

Câu 49.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{2}\,dx$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 50.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{3}\,dx$.

Câu 51.Tính $\int_{0}^{1} (2x + 1)^{3}\,dx$.

Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(33 câu)

Phần II. Trắc nghiệm Đúng / Sai(10 câu)

Phần III. Trả lời ngắn(8 câu)

Đáp án & Lời giải

Mở đáp án & Lời giải hôm nay