Ứng dụng tích phân tính diện tích

Câu 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 4x$.

Câu 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = 4$.

Câu 3.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(P)$ là parabol $y = x^2 + a$ (với $a$ là tham số thực dương) và $(d)$ là đường thẳng $y = 2\,x$. Biết $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 < x_2$ với $0 < x_1 < x_2$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ và trục $Oy$ trên đoạn $[0; x_1]$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ trên đoạn $[x_1; x_2]$. Tìm $a$ để $S_1 = S_2$.

Câu 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = 2x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 3$.

Câu 5.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$.

Câu 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = 6x - 9$ và trục hoành $Ox$.

Câu 7.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$.

Câu 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 3x$.

Câu 9.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = 2x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$.

Câu 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 + x + 2$ và trục hoành.

Câu 11.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = 2x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 1$.

Câu 12.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = 6x - 9$ và trục hoành $Ox$.

Câu 13.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 - x + 6$ và trục hoành.

Câu 14.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 + 3x - 2$ và trục hoành.

Câu 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 4x$.

Câu 16.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 - 3x - 2$ và trục hoành.

Câu 17.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = 3x - 2$.

Câu 18.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 - 3x - 2$ và trục hoành.

Câu 19.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 3x$.

Câu 20.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 3$.

Câu 21.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = 5x^2$, trục $Ox$, và hai đường $x = 0, x = 4$.

Câu 22.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = 4$.

Câu 23.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, gọi $(P)$ là parabol $y = x^2 + a$ (với $a$ là tham số thực dương) và $(d)$ là đường thẳng $y = \dfrac{8}{3}\,x$. Biết $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 < x_2$ với $0 < x_1 < x_2$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ và trục $Oy$ trên đoạn $[0; x_1]$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P), (d)$ trên đoạn $[x_1; x_2]$. Tìm $a$ để $S_1 = S_2$.

Câu 24.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2$ và đường thẳng $y = -5x - 6$.

Câu 25.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^2$ và $y = 5x$.

Câu 26.Quan sát hình tô đậm trong hình minh họa. Tính diện tích $S$ của miền giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$.

Câu 27.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -x^2 + 4$ và trục hoành.

Câu 28.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 29.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 30.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 31.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 32.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 33.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 34.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 2x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 35.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 36.Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 37.Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 2x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 38.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = 2$, trục hoành, $x = 3$, $x = 8$.

Câu 39.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 0$, $x = 2$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 40.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 2$, $x = 3$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 41.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 2$, $x = 5$.

Câu 42.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 0$, $x = 3$.

Câu 43.Hướng tới chuỗi sự kiện văn hoá địa phương, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa khổng lồ phát sáng. Bông hoa được thiết kế gồm $4$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tán sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $10$ cm. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục toạ độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình: $(P_1): y = -x^2 + 4x$ và $(P_2): y = x^2 - 8x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tán sáng này là $25$ triệu đồng cho mỗi $1\,\text{m}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $4$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 44.Trong một mô hình kinh tế, hàm cung $y = S(x)$ là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra $x$ sản phẩm, hàm cầu $y = D(x)$ là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua $x$ sản phẩm. Điểm cắt nhau $(x_0; y_0)$ của đồ thị hai hàm trên gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi thặng dư tiêu dùng là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $y = y_0$ và trục tung; thặng dư sản xuất là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường ngang $y = y_0$ và trục tung. Xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới với: $p = D(x) = 4 - 0{,}2 x$ (triệu đồng/tấm); $p = S(x) = 0{,}4 + 0{,}1 x + \dfrac{1}{m} x^2$ (triệu đồng/tấm), trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (triệu đồng/sản phẩm) và $m > 0$ là chỉ số hiệu quả công nghệ. Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4{,}2$ tỉ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỉ đồng?

Câu 45.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = 5$, trục hoành, $x = 3$, $x = 4$.

Câu 46.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = 2$, trục hoành, $x = 0$, $x = 2$.

Câu 47.Hướng tới chuỗi sự kiện văn hoá địa phương, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa khổng lồ phát sáng. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tán sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $10$ cm. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục toạ độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình: $(P_1): y = -x^2 + 6x$ và $(P_2): y = x^2 - 6x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tán sáng này là $20$ triệu đồng cho mỗi $1\,\text{m}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 48.Trong một mô hình kinh tế, hàm cung $y = S(x)$ là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra $x$ sản phẩm, hàm cầu $y = D(x)$ là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua $x$ sản phẩm. Điểm cắt nhau $(x_0; y_0)$ của đồ thị hai hàm trên gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi thặng dư tiêu dùng là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $y = y_0$ và trục tung; thặng dư sản xuất là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường ngang $y = y_0$ và trục tung. Xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới với: $p = D(x) = 4 - 0{,}2 x$ (triệu đồng/tấm); $p = S(x) = 0{,}4 + 0{,}1 x + \dfrac{1}{m} x^2$ (triệu đồng/tấm), trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (triệu đồng/sản phẩm) và $m > 0$ là chỉ số hiệu quả công nghệ. Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4{,}2$ tỉ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỉ đồng?

Câu 49.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 10$ m, $AD = 6$ m. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ đều bằng $3$ m. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{5}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 50.Trong một mô hình kinh tế, hàm cung $y = S(x)$ là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra $x$ sản phẩm, hàm cầu $y = D(x)$ là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua $x$ sản phẩm. Điểm cắt nhau $(x_0; y_0)$ của đồ thị hai hàm trên gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi thặng dư tiêu dùng là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $y = y_0$ và trục tung; thặng dư sản xuất là diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường ngang $y = y_0$ và trục tung. Xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới với: $p = D(x) = 4 - 0{,}2 x$ (triệu đồng/tấm); $p = S(x) = 0{,}4 + 0{,}1 x + \dfrac{1}{m} x^2$ (triệu đồng/tấm), trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (triệu đồng/sản phẩm) và $m > 0$ là chỉ số hiệu quả công nghệ. Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4{,}2$ tỉ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỉ đồng?

Câu 51.Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 12$ m, $AD = 8$ m. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ (hình minh hoạ). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ đều bằng $4$ m. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thoả mãn $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{5}{12}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Làm tròn đến hàng phần mười)