Phần I. Trắc nghiệm 4 phương án(33 câu)
Câu 1.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(8; 6; 5)$, $B(6; 11; 4)$, $C(2; 9; 11)$, $D(5; 7; 3)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 7$, $d_B = 9$, $d_C = 10$, $d_D = 5$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 2.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(-3;-1;-2)$ và $B(-3;3;2)$, và vuông góc với $AB$.
Câu 3.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;1;1)$ và $B(-1;-3;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
Câu 4.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 \\ z = -2 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 \\ y = 2 + 2s \\ z = 0 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 5.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(12; 3; 7)$, $B(16; 6; 5)$, $C(6; 4; 3)$, $D(8; 3; 4)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 10$, $d_B = 13$, $d_C = 3$, $d_D = 5$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 6.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;-1;1)$ và $B(2;0;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
Câu 7.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(3;0;1)$ và $B(1;2;-3)$, và vuông góc với $AB$.
Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4; 2; -1)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 + t \\ z = -5 + t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -3 + t \\ y = -3 \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -2 \\ y = -2 + s \\ z = 0 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 10.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;3;1)$ và $B(-3;-3;3)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
Câu 11.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(6; 14; 6)$, $B(7; 4; 6)$, $C(5; 4; 3)$, $D(9; 5; 4)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 13$, $d_B = 6$, $d_C = 3$, $d_D = 7$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 12.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1; 3; 1)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = 4 - t \\ y = 3 - 2t \\ z = 3 - 2t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
Câu 13.Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2; -2; -3)$, $B(-1; -1; -2)$, $C(-1; -4; -6)$, $D(4; -1; -6)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.
Câu 14.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(-2;1;1)$ và $B(-2;-1;1)$, và vuông góc với $AB$.
Câu 15.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(1; 2; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 0; 1)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 5)^2 = 4$ và $(S_2): (x - 7)^2 + (y - 10)^2 + (z - 10)^2 = 16$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.
Câu 16.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0; 6; 2)$ và mặt phẳng $(P): x - y + z - 2 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 17.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 + t \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 \\ y = -3 \\ z = -1 + s \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 18.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 \\ z = -3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 0 \\ y = -2 \\ z = -2 + s \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 19.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-5; -2; -3)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = -5 + t \\ y = -7 + 2t \\ z = -5 + t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
Câu 20.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(5; -2; 1)$ và mặt phẳng $(P): x + y - 1 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 21.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(6; 14; 6)$, $B(10; 2; 9)$, $C(3; 10; 7)$, $D(3; 4; 5)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 13$, $d_B = 10$, $d_C = 9$, $d_D = 3$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 22.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-3; -1; 5)$ và mặt phẳng $(P): -x + y + z - 1 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 23.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-5; 5; 4)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = -7 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách $AM$ ngắn nhất.
Câu 24.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-3; 1; -1)$ và mặt phẳng $(P): x + y - 2 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 25.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(1; 0; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 1; 0)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 6)^2 + (y - 7)^2 + (z - 13)^2 = 25$ và $(S_2): (x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 5)^2 = 9$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.
Câu 26.Tìm phương trình một mặt phẳng cách đều hai điểm $A(1;-1;2)$ và $B(-1;3;2)$, và vuông góc với $AB$.
Câu 27.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một thiết bị GPS xác định vị trí của mình thông qua tín hiệu từ bốn vệ tinh. Bốn vệ tinh đặt cố định tại các điểm $A(3; 7; 5)$, $B(5; 7; 6)$, $C(6; 7; 14)$, $D(4; 5; 4)$. Thiết bị tại vị trí $M$ đo được khoảng cách tới các vệ tinh lần lượt là $d_A = 5$, $d_B = 6$, $d_C = 13$, $d_D = 3$ (km). Hãy xác định tọa độ của thiết bị $M$.
Câu 28.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-6; -1; -1)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + 2z - 3 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $(P)$.
Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;1;2)$ và $B(-1;1;4)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2$.
Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = -2 + s \\ y = -1 - s \\ z = 2 \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4; 3; 4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): -4x - 4y - 7z + 218 = 0$.
Câu 32.Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), một drone xuất phát từ điểm $A(0; 1; 1)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (0; 0; 1)$. Trên hành trình, có hai đỉnh núi được mô hình hoá bởi hai mặt cầu $(S_1): (x - 3)^2 + (y - 5)^2 + (z - 6)^2 = 9$ và $(S_2): (x - 3)^2 + (y - 5)^2 + (z - 8)^2 = 9$. Tính khoảng cách nhỏ nhất $d_1, d_2$ từ đường bay $\Delta$ đến biên $(S_1)$ và biên $(S_2)$ tương ứng.
Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -1 \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 5 \\ y = -4 \\ z = 4 + s \end{cases}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.