Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Câu 1.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $60$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 2.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $4$.

Câu 3.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = - x^{2} + 7 x - 1$ trên $[1; 5]$.

Câu 4.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $4$.

Câu 5.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ trên đoạn $[-1; 4]$.

Câu 6.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x - 1}{3 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} \cdot y_{\min}$.

Câu 7.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $7$.

Câu 8.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

Câu 9.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = - 3 x^{2} - 5 x + 4$ trên $[-2; 2]$.

Câu 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ trên đoạn $[-3; 0]$.

Câu 11.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ trên đoạn $[-2; 3]$.

Câu 12.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = - x^{2} - 7 x - 7$ trên $[-7; 0]$.

Câu 13.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + 8x + 6$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 14.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $9$.

Câu 15.Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng $20$, hình nào có diện tích lớn nhất? Tìm diện tích lớn nhất đó.

Câu 16.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ trên đoạn $[-2; 3]$.

Câu 17.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x + 1}{3 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} + y_{\min}$.

Câu 18.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{16}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

Câu 19.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

Câu 20.Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x + 7}{5 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} + y_{\min}$.

Câu 21.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 + 4x + 4$ trên đoạn $[-2; 0]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 22.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 23.Cho hàm số $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ trên đoạn $[1; 9]$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

Câu 24.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 4\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 9]$.

Câu 25.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -2x^2 - 3x - 6$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 26.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 2\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 4]$.

Câu 27.Một hộ gia đình muốn xây dựng một thùng container nhỏ kho hàng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 400$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $4$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của thùng để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.

Câu 28.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -3x^2 - 6x - 7$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 29.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $200$ mét ($AB = CD = 200$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 300\left(e^{x/600} + e^{-x/600}\right) - 580$, với $-100 \le x \le 100$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 30.Để hỗ trợ phát triển ứng dụng trợ lý học tập AI, số lượng người dùng sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{12000}{1 + 23\, e^{-\dfrac{t}{2}}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người dùng mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

Câu 31.Một khách sạn công nghệ cao có $50$ phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là $2$ triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm $1$ phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là $200$ nghìn đồng/ngày (phòng trống không tốn chi phí). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ $100$ triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày? (làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 32.Tấm bìa hình vuông cạnh $30$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 33.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 2\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 4]$.

Câu 34.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 10\sqrt{x}$ trên đoạn $[0; 30]$.

Câu 35.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $200$ mét ($AB = CD = 200$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 300\left(e^{x/600} + e^{-x/600}\right) - 580$, với $-100 \le x \le 100$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 36.Cho $y = x^3 - 3x + 2$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-2; 2]$.

Câu 37.Cho $y = x^3 - 3x^2 + 4$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-1; 3]$.

Câu 38.Cho $y = x^3 - 3x + 2$. Tính tổng GTLN và GTNN trên $[-2; 2]$.

Câu 39.Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = 2x^2 + 7x - 7$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 40.Để hỗ trợ phát triển mô hình lan truyền tin tức mới trên mạng xã hội, số lượng lượt chia sẻ sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{8000}{1 + 9\, e^{-\dfrac{t}{3}}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng lượt chia sẻ mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).

Câu 41.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $100$ mét ($AB = CD = 100$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 223,5\left(e^{x/447} + e^{-x/447}\right) - 430$, với $-50 \le x \le 50$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 42.Tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 43.Khi chế tạo cánh diều hình tứ giác, người ta tạo khung trước. Một khung cánh diều sẽ được tạo từ hai thanh chéo làm bằng gỗ và bốn sợi dây cước viền. Lấy bốn sợi dây tạo thành viền ngoài đã được cắt đúng độ dài với kích thước là $30$, $30$, $40$, $40$ (theo đơn vị $cm$) và lắp hai thanh gỗ làm đường chéo. Tính tổng độ dài hai thanh chéo gỗ khi diện tích cánh diều lớn nhất (đơn vị $cm$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 44.Một khách sạn công nghệ cao có $50$ phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là $2$ triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm $1$ phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là $200$ nghìn đồng/ngày (phòng trống không tốn chi phí). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ $115$ triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày? (làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 45.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Câu 46.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Câu 47.Tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 48.Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $68$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 80 - 0,015\,x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 7,2\,x$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu hằng tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Câu 49.Tấm bìa hình vuông cạnh $6$ cm. Cắt 4 ô vuông ở 4 góc rồi gập thành hộp không nắp. Cạnh ô vuông cắt là bao nhiêu cm để thể tích hộp lớn nhất?

Câu 50.Một xưởng đan giỏ tre xuất khẩu sản xuất mỗi ngày được $x$ chiếc giỏ tre (với $1 \le x \le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x$ chiếc giỏ tre (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số $C(x) = x^3 - 3x^2 - 30x + 600$. Giả sử xưởng đan giỏ tre xuất khẩu này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $330$ nghìn đồng/chiếc. Hỏi xưởng đan giỏ tre xuất khẩu cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu chiếc giỏ tre để thu được lợi nhuận tối đa?

Câu 51.Tìm giá trị lớn nhất của $f(x) = -2x^2 + 3x - 7$ trên $\mathbb{R}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)