Năm học 2026–2027 · Thi tốt nghiệp THPT 2027 · Đề mới mỗi ngày, làm và chấm ngay trên web

Đăng ký Đăng nhập
Đăng ký Đăng nhập
Tốt nghiệp THPT
Bộ đề VIP Thi LIVE
T Toán
Đề thi thử 6 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025 Đề các trường 2026
L Vật lý
Đề thi thử 6 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025 Đề các trường 2026
H Hóa học
Đề thi thử 5 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025
Lớp 12
T Toán
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 7 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 11 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 11
T Toán
Ôn luyện chương 12 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 7 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 10
T Toán
Ôn luyện chương 12 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 11 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 9
T Toán
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
KHTN Khoa học tự nhiên
Ôn luyện chương 17 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 8
T Toán
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
KHTN Khoa học tự nhiên
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Tin tức
Toán Lớp 11 Hình học và Đo lường

Quan hệ vuông góc trong không gian — ôn luyện Toán lớp 11

255 câu hỏi chia theo 14 dạng bài, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu. Mỗi câu chỉ xuất hiện một lần — không có hai bài giống nhau chỉ khác bộ số.

Tải đề bài cả chươngPDF · MIỄN PHÍ

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 25 câu

Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian — Toán lớp 11: 25 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 7 câu

Nhận biết
Câu 1. Hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng tạo với nhau góc 175∘175^\circ. Góc giữa hai đường thẳng ấy bằng
A 10∘10^\circ
B 175∘175^\circ
C 5∘5^\circ
D 85∘85^\circ
Thông hiểu
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 22. Góc giữa hai đường thẳng AA′AA' và BC′BC' bằng
A 60∘60^\circ
B 45∘45^\circ
C 0∘0^\circ
D 90∘90^\circ
Vận dụng
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1515. Bình phương độ dài đường chéo một mặt bằng
A 675675
B 450450
C 225225
D 900900
Vận dụng cao
Câu 4. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có AC=6AC = 6, BD=5BD = 5, AD=4AD = 4, BC=3BC = 3. Hai cạnh ABAB và CDCD thay đổi nhưng luôn thoả mãn AB2+CD2=72AB^2 + CD^2 = 72. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ABAB và CDCD. Khi φ\varphi đạt giá trị lớn nhất thì độ dài cạnh ABAB bằng
6543BCDA
A 323\sqrt{2}
B 66
C 3636
D 626\sqrt{2}
Vận dụng cao
Câu 5. Cho tứ diện ABCDABCD có AB=10AB = 10, CD=9CD = 9, AC=8AC = 8, BD=8BD = 8; hai cạnh ADAD và BCBC chưa biết. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ABAB và CDCD, biết MN=4MN = 4. Gọi PP, QQ lần lượt là trung điểm của ADAD và BCBC. Độ dài đoạn thẳng PQPQ bằng
109884ABCDMNPQ
A 44
B 838\sqrt{3}
C 474\sqrt{7}
D 434\sqrt{3}
Vận dụng
Câu 6. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có BC=8BC = 8, AD=7AD = 7, BD=10BD = 10. Để hai đường thẳng ABAB và CDCD vuông góc với nhau thì độ dài cạnh ACAC bằng
8710BCDA
A 1313
B 115\sqrt{115}
C 85\sqrt{85}
D 13\sqrt{13}
Vận dụng
Câu 7. Cho tứ diện ABCDABCD có AB=CD=7AB = CD = 7. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ADAD và BCBC, biết MN=4MN = 4. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ABAB và CDCD. Giá trị của cos⁡φ\cos\varphi bằng
774ABCDMN
A 4149\dfrac{41}{49}
B 3449\dfrac{34}{49}
C −1749-\dfrac{17}{49}
D 1749\dfrac{17}{49}

Câu đúng / sai 4 câu

Vận dụng
Câu 8. Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=180AB=180, AD=112AD=112, AA′=72AA'=72.
a) AC=212AC=212.
b) AC′=364AC'=364.
c) cos⁡(AC′,AC)=7243133\cos(AC',AC)=\dfrac{72}{4\sqrt{3133}}.
d) Hai góc giữa AC′ với AA′ và với AC bằng nhau.
Thông hiểu
Câu 9. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 2020, và xét hai đường thẳng ABAB và CC′CC'.
a) Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong đoạn [0∘;180∘]\left[0^\circ; 180^\circ\right].
b) AB⊥ADAB \perp AD.
c) Bình phương đường chéo khối bằng 12001200.
d) Hai đường thẳng chéo nhau vẫn xác định được góc giữa chúng.
Vận dụng cao
Câu 10. Cho tứ diện ABCDABCD có AB=8AB = 8, CD=10CD = 10, AC=5AC = 5, BC=9BC = 9. Hai cạnh ADAD, BDBD thay đổi nhưng luôn thoả mãn AD2+BD2=202AD^2 + BD^2 = 202. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ABAB, CDCD và φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ABAB, CDCD. Xét các khẳng định sau.
81059ABCDMN
a) Độ dài MNMN không đổi khi DD thay đổi và MN=6MN = 6.
b) Khi AD=8AD = 8 thì cos⁡φ=980\cos\varphi = \dfrac{9}{80}.
c) Đường thẳng MNMN luôn vuông góc với đường thẳng CDCD.
d) Có vị trí của DD để AB⊥CDAB \perp CD, khi đó AD=129AD = \sqrt{129}.
Vận dụng
Câu 11. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có BD=7BD = 7, AC=9AC = 9, AB=8AB = 8, AD⊥ACAD \perp AC và BAC^=45∘\widehat{BAC} = 45^\circ. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ACAC và BDBD. Xét các khẳng định sau.
79845°ACDB
a) BC2=145−722BC^2 = 145 - 72\sqrt{2}.
b) AD2−CD2=81AD^2 - CD^2 = 81.
c) DB→⋅AC→=362\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} = 36\sqrt{2}.
d) Nếu chỉ thay đổi độ dài cạnh ABAB (các dữ kiện khác giữ nguyên) thì φ\varphi không đổi.

Trả lời ngắn 7 câu

Nhận biết
Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1313. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ABAB và AA′AA', đơn vị độ.
Thông hiểu
Câu 13. Hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng tạo với nhau góc 145∘145^\circ. Tính góc giữa hai đường thẳng ấy, đơn vị độ.
Vận dụng
Câu 14. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1414. Tính bình phương độ dài đường chéo khối.
Vận dụng cao
Câu 15. Cho tứ diện ABCDABCD có AC=8AC = 8, BD=10BD = 10, AB=8AB = 8, CD=8CD = 8; hai cạnh ADAD và BCBC chưa biết. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ACAC và BDBD, biết MN=5MN = 5. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ACAC và BDBD. Tính cos⁡φ\cos\varphi.
810885ABCDMN
Vận dụng cao
Câu 16. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có AB=4AB = 4, CD=4CD = 4, AD=8AD = 8, BC=3BC = 3. Hai cạnh ACAC và BDBD thay đổi nhưng luôn thoả mãn AC2+BD2=72AC^2 + BD^2 = 72. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ACAC và BDBD. Tính giá trị lớn nhất của φ\varphi theo đơn vị độ (làm tròn đến hàng đơn vị).
4483ABDC
Vận dụng
Câu 17. Cho tứ diện ABCDABCD có AD=BC=8AD = BC = 8. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ABAB và CDCD, biết MN=7MN = 7. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ADAD và BCBC. Tính số đo của góc φ\varphi (làm tròn đến độ).
887ABCDMN
Vận dụng
Câu 18. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có AD=5AD = 5, BC=7BC = 7, CD=8CD = 8. Tính độ dài cạnh ABAB để hai đường thẳng ACAC và BDBD vuông góc với nhau (làm tròn đến hàng phần mười).
578BCDA

Tự luận 7 câu

Nhận biết
Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1414. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ABAB và ACAC, đơn vị độ.
Thông hiểu
Câu 20. Hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng tạo với nhau góc 125∘125^\circ. Tính góc giữa hai đường thẳng ấy, đơn vị độ.
Vận dụng
Câu 21. Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=20AB=20, AD=48AD=48, AA′=72AA'=72.
Vận dụng
Câu 22. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1313. Tính bình phương độ dài đường chéo khối.
Vận dụng cao
Câu 23. Cho tứ diện ABCDABCD có AC=8AC = 8, BD=8BD = 8, AB=7AB = 7, CD=7CD = 7; hai cạnh ADAD và BCBC chưa biết. Gọi MM, NN lần lượt là trung điểm của ACAC và BDBD, biết MN=5MN = 5. Gọi PP, QQ lần lượt là trung điểm của ADAD và BCBC. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ACAC và BDBD.
88775ABCDMNPQ
Vận dụng cao
Câu 24. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có AB=9AB = 9, CD=10CD = 10, AD=9AD = 9, BC=12BC = 12. Hai cạnh ACAC và BDBD thay đổi nhưng luôn thoả mãn AC2+BD2=98AC^2 + BD^2 = 98. Gọi φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ACAC và BDBD. Tìm giá trị lớn nhất của φ\varphi (làm tròn số đo góc đến hàng phần mười) và cho biết khi đó ACAC, BDBD bằng bao nhiêu.
910912BCDA
Vận dụng
Câu 25. Cho tứ diện ABCDABCD (như hình vẽ) có BD=10BD = 10, AC=5AC = 5, AD=8AD = 8. Tính độ dài cạnh BCBC để hai đường thẳng ABAB và CDCD vuông góc với nhau (làm tròn đến hàng phần mười).
1058BCDA

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 26 câu

Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng — Toán lớp 11: 26 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 7 câu

Nhận biết
Câu 26. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì tạo với mặt phẳng ấy một góc bằng
A 90∘90^\circ
B 45∘45^\circ
C 0∘0^\circ
D 180∘180^\circ
Thông hiểu
Câu 27. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=20SA = 20, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=21AM = 21. Góc giữa đường thẳng SMSM và mặt phẳng (P)(P) là
A ASM^\widehat{ASM}
B SAM^\widehat{SAM}
C SMA^\widehat{SMA}
D MAS^\widehat{MAS}
Vận dụng
Câu 28. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=16SA = 16, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=12AM = 12. Sin của góc giữa SMSM và (P)(P) bằng
A 43\dfrac{4}{3}
B 35\dfrac{3}{5}
C 54\dfrac{5}{4}
D 45\dfrac{4}{5}
Vận dụng cao
Câu 29. Đường thẳng ABAB cắt mặt phẳng (P)(P) tại điểm II nằm trong đoạn ABAB (như hình vẽ); biết AB=18AB = 18.
Hai khoảng cách x=d(A,(P))x = d(A,(P)) và y=d(B,(P))y = d(B,(P)) thay đổi nhưng luôn thoả mãn xy=16xy = 16. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng ABAB và (P)(P).
Tìm giá trị nhỏ nhất của φ\varphi theo đơn vị độ (làm tròn đến hàng đơn vị).
φxyAB = 18(P)EIFAB
A 26∘26^\circ
B 18∘18^\circ
C 64∘64^\circ
D 13∘13^\circ
Vận dụng cao
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 2a2a, cạnh bên SASA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a3SA = a\sqrt{3} (như hình vẽ).
Gọi MM là trung điểm của CDCD; điểm NN thay đổi trên cạnh SDSD.
Tìm tỉ số SNSD\dfrac{SN}{SD} để góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SAB)(SAB) bằng 30∘30^\circ.
2a2aa√3ABCDSMN
A 49\dfrac{4}{9}
B 13\dfrac{1}{3}
C 23\dfrac{2}{3}
D 43\dfrac{4}{3}
Vận dụng
Câu 31. Hai điểm AA, BB nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P)(P) và đường thẳng ABAB cắt (P)(P) tại II (như hình vẽ).
Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng ABAB và (P)(P). Biết φ=60∘\varphi = 60^\circ, khoảng cách từ AA và BB đến (P)(P) lần lượt bằng 55 và 1111.
Tính độ dài đoạn ABAB.
φ511(P)EIFAB
A 3233\dfrac{32\sqrt{3}}{3}
B 434\sqrt{3}
C 1212
D 333\sqrt{3}
Vận dụng
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 2a2a, cạnh bên SASA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=aSA = a (như hình vẽ).
Gọi MM là trung điểm của SASA và NN là điểm trên cạnh SCSC sao cho NC=3SNNC = 3SN. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SAD)(SAD).
Tính tan⁡φ\tan\varphi.
2a2aaABCDSMN
A 11
B 52\dfrac{\sqrt{5}}{2}
C 63737\dfrac{6\sqrt{37}}{37}
D 255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

Câu đúng / sai 4 câu

Thông hiểu
Câu 33. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=35SA = 35, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=12AM = 12.
a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nằm trong đoạn [0∘;90∘]\left[0^\circ; 90^\circ\right].
b) Góc giữa SMSM và (P)(P) là SAM^\widehat{SAM}.
c) tan⁡SMA^=1235\tan\widehat{SMA} = \dfrac{12}{35}.
d) Đường thẳng song song với mặt phẳng tạo với mặt phẳng góc 0∘0^\circ.
Vận dụng
Câu 34. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 1010, tâm OO, SO⊥(ABCD)SO\perp(ABCD) và SO=12SO=12. Gọi MM là trung điểm ABAB.
a) Hình chiếu vuông góc của SASA lên đáy là OAOA.
b) SM=13SM=13.
c) Tang góc giữa SMSM và đáy bằng 125\dfrac{12}{5}.
d) Góc giữa SASA và đáy lớn hơn góc giữa SMSM và đáy.
Vận dụng
Câu 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có cạnh đáy bằng aa và cạnh bên bằng a2a\sqrt{2} (như hình vẽ).
Gọi MM là điểm trên cạnh CDCD sao cho MC=2MDMC = 2MD và NN là trung điểm của SBSB. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SAC)(SAC).
Xét các khẳng định sau.
aa√2ABCDSMNO
a) Hai điểm MM, NN nằm khác phía đối với mặt phẳng (SAC)(SAC).
b) Khoảng cách từ MM đến mặt phẳng (SAC)(SAC) bằng a26\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.
c) Khoảng cách từ NN đến mặt phẳng (SAC)(SAC) bằng a22\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.
d) sin⁡φ=7520\sin\varphi = \dfrac{7\sqrt{5}}{20}.
Vận dụng
Câu 36. Đường thẳng ABAB cắt mặt phẳng (P)(P) tại II.
Biết AB=10AB = 10 và d(A,(P))=2d(A,(P)) = 2. Đặt t=d(B,(P))t = d(B,(P)) và gọi φ\varphi là góc giữa ABAB và (P)(P). Xét các khẳng định sau.
φ2tAB = 10(P)EIFAB
a) Luôn có IAIB=t2\dfrac{IA}{IB} = \dfrac{t}{2}.
b) Nếu AA, BB cùng phía đối với (P)(P) và t=6t = 6 thì sin⁡φ=0,4\sin\varphi = 0{,}4.
c) Nếu AA, BB khác phía đối với (P)(P) thì luôn có t≤8t \le 8.
d) Nếu AA, BB cùng phía đối với (P)(P) thì giá trị lớn nhất của tt bằng 1212.

Trả lời ngắn 7 câu

Thông hiểu
Câu 37. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=30SA = 30, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=16AM = 16. Tính sin của góc giữa SMSM và (P)(P) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vận dụng
Câu 38. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=24SA = 24, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=18AM = 18. Tính tang của góc giữa SMSM và (P)(P) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Nhận biết
Câu 39. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=20SA = 20, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=15AM = 15. Tính số đo góc giữa SASA và mặt phẳng (P)(P), đơn vị độ.
Vận dụng cao
Câu 40. Hai điểm AA, BB nằm khác phía đối với mặt phẳng (P)(P), đường thẳng ABAB cắt (P)(P) tại II (như hình vẽ); biết AB=14AB = 14.
Hai khoảng cách x=d(A,(P))x = d(A,(P)) và y=d(B,(P))y = d(B,(P)) thay đổi nhưng luôn thoả mãn x2+y2=72x^2 + y^2 = 72. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng ABAB và (P)(P).
Tìm giá trị lớn nhất của φ\varphi theo đơn vị độ (làm tròn đến hàng đơn vị).
φxyAB = 14(P)EIFAB
Vận dụng cao
Câu 41. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 2a2a, cạnh bên SASA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=aSA = a (như hình vẽ).
Gọi MM là điểm trên cạnh SASA sao cho SM=3MASM = 3MA; điểm NN thay đổi trên cạnh SBSB.
Tìm tỉ số SNSB\dfrac{SN}{SB} để góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SAD)(SAD) bằng 45∘45^\circ.
2a2aaABCDSMN
Vận dụng
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa, cạnh bên SASA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=aSA = a (như hình vẽ).
Gọi MM là điểm trên cạnh ADAD sao cho MD=3AMMD = 3AM và NN là điểm trên cạnh SCSC sao cho NC=3NSNC = 3NS. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SAD)(SAD).
Tính cos⁡φ\cos\varphi (làm tròn đến hàng phần trăm).
aaaABCDSMN
Vận dụng
Câu 43. Hai điểm AA, BB nằm khác phía đối với mặt phẳng (P)(P) và đường thẳng ABAB cắt (P)(P) tại II (như hình vẽ).
Biết AB=14AB = 14, khoảng cách từ AA và BB đến (P)(P) lần lượt bằng 55 và 22. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng ABAB và (P)(P).
Tính số đo góc φ\varphi theo đơn vị độ.
φ52AB = 14(P)EIFAB

Tự luận 8 câu

Thông hiểu
Câu 44. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=9SA = 9, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=40AM = 40. Tính sin của góc giữa SMSM và (P)(P) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vận dụng
Câu 45. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 6464, tâm OO, SO⊥(ABCD)SO\perp(ABCD) và SO=60SO=60. Gọi MM là trung điểm ABAB.
Nhận biết
Câu 46. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=6SA = 6, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=8AM = 8. Tính số đo góc giữa SASA và mặt phẳng (P)(P), đơn vị độ.
Vận dụng
Câu 47. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=7SA = 7, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=24AM = 24. Tính tang của góc giữa SMSM và (P)(P) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vận dụng cao
Câu 48. Hai điểm AA, BB nằm khác phía đối với mặt phẳng (P)(P), đường thẳng ABAB cắt (P)(P) tại II (như hình vẽ); biết AB=17AB = 17.
Hai khoảng cách x=d(A,(P))x = d(A,(P)) và y=d(B,(P))y = d(B,(P)) thay đổi nhưng luôn thoả mãn x2+y2=18x^2 + y^2 = 18. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng ABAB và (P)(P).
Tìm giá trị lớn nhất của sin⁡φ\sin\varphi (làm tròn đến hàng phần trăm).
φxyAB = 17(P)EIFAB
Vận dụng cao
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có cạnh đáy bằng aa và cạnh bên bằng 2a2a (như hình vẽ).
Gọi MM là điểm trên cạnh SCSC sao cho MS=3MCMS = 3MC; điểm NN thay đổi trên cạnh ADAD.
Tìm tỉ số ANAD\dfrac{AN}{AD} để góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SBD)(SBD) bằng 45∘45^\circ.
a2aABCDSMNO
Vận dụng
Câu 50. Hai điểm AA, BB nằm khác phía đối với mặt phẳng (P)(P) và đường thẳng ABAB cắt (P)(P) tại II (như hình vẽ).
Biết AB=102AB = 10\sqrt{2}, khoảng cách từ AA và BB đến (P)(P) lần lượt bằng 33 và 77. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng ABAB và (P)(P).
Tính số đo góc φ\varphi theo đơn vị độ.
φ37AB = 10√2(P)EIFAB
Vận dụng
Câu 51. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có cạnh đáy bằng aa và cạnh bên bằng 2a2a (như hình vẽ).
Gọi MM là điểm trên cạnh ADAD sao cho MD=3MAMD = 3MA và NN là điểm trên cạnh SCSC sao cho NC=3NSNC = 3NS. Gọi φ\varphi là góc giữa đường thẳng MNMN và mặt phẳng (SBD)(SBD).
Tính sin⁡φ\sin\varphi.
a2aABCDSMNO

Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 12 câu

Bài tập đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau — Toán lớp 11: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 52. Hai đường thẳng chéo nhau có bao nhiêu đường vuông góc chung?
A 22
B 00
C vô số
D 11
Thông hiểu
Câu 53. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=7AB = 7, AD=14AD = 14 và AA′=22AA' = 22. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ABAB và CC′CC' là
A AA′AA'
B ACAC
C BCBC
D BDBD
Vận dụng
Câu 54. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=3AB = 3, AD=4AD = 4 và AA′=12AA' = 12. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ABAB và CC′CC' bằng
A 33
B 44
C 1212
D 1313

Câu đúng / sai 1 câu

Vận dụng
Câu 55. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=2AB = 2, AD=26AD = 26 và AA′=29AA' = 29.
a) ABAB và CC′CC' cắt nhau.
b) Độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đường thẳng.
c) Khoảng cách giữa ABAB và CC′CC' bằng 22.
d) Bình phương khoảng cách giữa AA′AA' và CC′CC' bằng 841841.

Trả lời ngắn 4 câu

Nhận biết
Câu 56. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=12AB = 12, AD=16AD = 16 và AA′=21AA' = 21. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ADAD và CC′CC'.
Thông hiểu
Câu 57. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=6AB = 6, AD=9AD = 9 và AA′=18AA' = 18. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ABAB và CC′CC'.
Vận dụng cao
Câu 58. Một khung càng của máy bay không người lái có dạng tứ diện ABCDABCD, trong đó ABAB và CDCD là hai càng chéo nhau. Bốn thanh kẹp có độ dài bằng nhau: AC=AD=BC=BD=49AC = AD = BC = BD = 49 mm\text{mm}; càng thứ hai dài CD=20CD = 20 mm\text{mm}.
Hồ sơ mất số đo của càng ABAB, chỉ còn ghi: khoảng cách giữa hai đường thẳng ABAB và CDCD là 30,530{,}5 mm\text{mm}, số này đã được làm tròn đến hàng phần mười.
Biết ABAB là một số nguyên (tính bằng mm\text{mm}) nằm trong khoảng [73;77]\left[73; 77\right] và khung không suy biến.
Tính độ dài ABAB (theo mm\text{mm}).
Vận dụng
Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=16AB = 16, AD=18AD = 18 và AA′=24AA' = 24. Tính bình phương khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′AA' và CC′CC'.

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 60. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, AD=17AD = 17 và AA′=28AA' = 28. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ADAD và CC′CC'.
Vận dụng
Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, AD=10AD = 10 và AA′=28AA' = 28. Tính bình phương khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′AA' và CC′CC'.
Vận dụng cao
Câu 62. Một khung càng của máy bay không người lái có dạng tứ diện ABCDABCD, trong đó ABAB và CDCD là hai càng chéo nhau. Bốn thanh kẹp có độ dài bằng nhau: AC=AD=BC=BD=52AC = AD = BC = BD = 52 mm\text{mm}; càng thứ hai dài CD=85CD = 85 mm\text{mm}.
Hồ sơ mất số đo của càng ABAB, chỉ còn ghi: khoảng cách giữa hai đường thẳng ABAB và CDCD là 25,6425{,}64 mm\text{mm}, số này đã được làm tròn đến hàng phần trăm.
Biết ABAB là một số nguyên (tính bằng mm\text{mm}) nằm trong khoảng [30;33]\left[30; 33\right] và khung không suy biến.
Hãy chỉ ra đường vuông góc chung của hai càng ABAB và CDCD, chứng minh điều đó, lập công thức khoảng cách theo ABAB, rồi tìm ABAB.
Thông hiểu
Câu 63. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=6AB = 6, AD=9AD = 9 và AA′=18AA' = 18. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ABAB và CC′CC'.

Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện 39 câu

Bài tập góc nhị diện và góc phẳng nhị diện — Toán lớp 11: 39 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 12 câu

Nhận biết
Câu 64. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là trọng tâm HH của tam giác ABCABC và SH=a2SH = a\sqrt{2}. Góc giữa đường thẳng SCSC và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là góc nào sau đây?
A SAC^\widehat{SAC}
B SCA^\widehat{SCA}
C CSH^\widehat{CSH}
D SCH^\widehat{SCH}
Thông hiểu
Câu 65. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là trọng tâm HH của tam giác ABCABC và góc giữa mặt phẳng (SBC)(SBC) và mặt phẳng đáy bằng 45∘45^\circ. Gọi α\alpha là góc giữa đường thẳng SASA và mặt phẳng (ABCD)(ABCD). Giá trị của tan⁡α\tan\alpha bằng
A 5\sqrt{5}
B 66\dfrac{\sqrt{6}}{6}
C 306\dfrac{\sqrt{30}}{6}
D 55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
Vận dụng
Câu 66. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thoi cạnh aa, BAD^=120∘\widehat{BAD} = 120^\circ, SASA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a62SA = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}. Gọi α\alpha là góc giữa hai đường thẳng ADAD và SBSB. Giá trị của cos⁡α\cos\alpha bằng
A 1010\dfrac{\sqrt{10}}{10}
B 155\dfrac{\sqrt{15}}{5}
C 12\dfrac{1}{2}
D 31010\dfrac{3\sqrt{10}}{10}
Vận dụng
Câu 67. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1616, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=30SA = 30. Gọi α\alpha là góc nhị diện cạnh BCBC giữa (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD). Giá trị tan⁡α\tan\alpha bằng
A 158\dfrac{15}{8}
B 815\dfrac{8}{15}
C 817\dfrac{8}{17}
D 1517\dfrac{15}{17}
Nhận biết
Câu 68. Góc phẳng nhị diện của một góc nhị diện cạnh dd được dựng bằng hai tia
A cùng nằm trong một mặt của nhị diện
B cùng vuông góc với dd, mỗi tia thuộc một mặt
C cùng song song với dd, mỗi tia thuộc một mặt
D bất kì xuất phát từ một điểm trên dd
Thông hiểu
Câu 69. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 99, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=40SA = 40. Số đo góc nhị diện cạnh ABAB giữa hai mặt phẳng (SAB)(SAB) và (ABCD)(ABCD) bằng
A 0∘0^\circ
B 90∘90^\circ
C 45∘45^\circ
D 60∘60^\circ
Vận dụng cao
Câu 70. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=6SA = 6. Hai cạnh đáy ABAB, ADAD thay đổi nhưng đường chéo luôn bằng AC=4AC = 4. Khi tổng d(S,BC)+d(S,CD)d(S, BC) + d(S, CD) đạt giá trị lớn nhất, cạnh ABAB bằng
64ABCDS
A 222\sqrt{2}
B 2112\sqrt{11}
C 44
D 22
Vận dụng cao
Câu 71. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 44 và cạnh bên 232\sqrt{3}. Gọi φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (BC′A′)(BC'A') và (BC′A)(BC'A). Giá trị của cos⁡φ\cos\varphi bằng
2√34ABCA'B'C'
A 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
B 578\dfrac{\sqrt{57}}{8}
C 34\dfrac{3}{4}
D 74\dfrac{\sqrt{7}}{4}
Vận dụng
Câu 72. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có ASB^=130∘\widehat{ASB} = 130^\circ, BSC^=40∘\widehat{BSC} = 40^\circ, CSA^=130∘\widehat{CSA} = 130^\circ. Số đo của góc nhị diện [A,SB,C][A, SB, C] (làm tròn đến độ) là
ABCS
A 108∘108^\circ
B 53∘53^\circ
C 99∘99^\circ
D 72∘72^\circ
Vận dụng cao
Câu 73. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có SB=4SB = 4, ASB^=CSA^=135∘\widehat{ASB} = \widehat{CSA} = 135^\circ và góc nhị diện [B,SA,C]=90∘[B, SA, C] = 90^\circ. Tính khoảng cách từ điểm BB đến mặt phẳng (SAC)(SAC).
135°135°490°ABCSMIN
A 44
B 6\sqrt{6}
C 222\sqrt{2}
D 232\sqrt{3}
Vận dụng
Câu 74. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có khoảng cách từ đỉnh SS đến mặt phẳng đáy (ABC)(ABC) bằng 1212 và khoảng cách từ SS đến đường thẳng BCBC bằng 2020. Gọi HH, KK lần lượt là hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABC)(ABC) và trên đường thẳng BCBC; φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABC)(ABC). Giá trị của tan⁡φ\tan\varphi bằng
φ1220ABCSHK
A 32\dfrac{3}{2}
B 34\dfrac{3}{4}
C 45\dfrac{4}{5}
D 35\dfrac{3}{5}
Vận dụng
Câu 75. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 33 và SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Biết góc φ\varphi giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SCD)(SCD) có cos⁡φ=15\cos\varphi = \dfrac{1}{5}. Gọi HH là hình chiếu vuông góc của BB trên SCSC. Độ dài cạnh SASA bằng
3ABCDSH
A 353\sqrt{5}
B 66
C 666\sqrt{6}
D 363\sqrt{6}

Câu đúng / sai 6 câu

Vận dụng
Câu 76. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 99, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=40SA = 40.
a) SB=49SB = 49.
b) Góc nhị diện có số đo nằm trong đoạn [0∘;180∘]\left[0^\circ; 180^\circ\right].
c) Góc phẳng nhị diện cạnh BCBC là SBA^\widehat{SBA}.
d) cos⁡SBA^=4041\cos\widehat{SBA} = \dfrac{40}{41}.
Vận dụng
Câu 77. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật với AB=aAB = a, AD=a3AD = a\sqrt{3}. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là trung điểm HH của cạnh ABAB và SH=a62SH = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}.
a) Góc giữa mặt phẳng (SBC)(SBC) và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là góc SCH^\widehat{SCH}.
b) Góc α\alpha giữa đường thẳng SBSB và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) thoả mãn tan⁡α=66\tan\alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.
c) Góc α\alpha giữa mặt phẳng (SBC)(SBC) và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) thoả mãn tan⁡α=427\tan\alpha = \dfrac{\sqrt{42}}{7}.
d) Góc α\alpha giữa hai đường thẳng ACAC và SASA thoả mãn cos⁡α=714\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{7}}{14}.
Vận dụng cao
Câu 78. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=4aSA = 4a. Hai cạnh đáy ABAB, ADAD thay đổi nhưng đường chéo luôn bằng AC=2aAC = 2a. Gọi φ1\varphi_1, φ2\varphi_2 lần lượt là góc giữa (SBC)(SBC), (SCD)(SCD) với mặt đáy. Xét các khẳng định sau.
4a2aABCDS
a) SB2+SD2=36a2SB^2 + SD^2 = 36a^2.
b) Khi d(S,BC)+d(S,CD)d(S, BC) + d(S, CD) lớn nhất thì ABCDABCD là hình vuông cạnh a2a\sqrt{2}.
c) Khi d(S,BC)+d(S,CD)d(S, BC) + d(S, CD) lớn nhất thì sin⁡φ1=223\sin\varphi_1 = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
d) Giá trị nhỏ nhất của tan⁡φ1+tan⁡φ2\tan\varphi_1 + \tan\varphi_2 bằng 88.
Vận dụng cao
Câu 79. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có BSC^=CSA^=135∘\widehat{BSC} = \widehat{CSA} = 135^\circ. Đặt γ=ASB^\gamma = \widehat{ASB} và θ=[A,SC,B]\theta = [A, SC, B]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
135°135°θABCSMIN
a) cos⁡θ=2cos⁡γ+1\cos\theta = 2\cos\gamma + 1.
b) Hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SAC)(SAC) vuông góc với nhau khi và chỉ khi γ=60∘\gamma = 60^\circ.
c) Khi γ\gamma tăng thì θ\theta giảm.
d) Với mọi giá trị của γ\gamma để hình chóp S.ABCS.ABC tồn tại, luôn có θ<γ\theta < \gamma.
Vận dụng cao
Câu 80. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD với ABC^=ADC^=90∘\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 90^\circ và SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Gọi HH, KK lần lượt là hình chiếu vuông góc của AA trên SBSB, SDSD; biết AH=10AH = 10, AK=12AK = 12, HK=16HK = 16. Xét các khẳng định sau.
101216ABCDSHK
a) AH⊥(SCD)AH \perp (SCD).
b) SC⊥(AHK)SC \perp (AHK).
c) Gọi II là giao điểm của SCSC với (AHK)(AHK), khi đó HIK^+HAK^=180∘\widehat{HIK} + \widehat{HAK} = 180^\circ.
d) Góc nhị diện [B,SC,D][B, SC, D] có số đo xấp xỉ 87,1∘87{,}1^\circ.
Vận dụng
Câu 81. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=a22SA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}. Gọi φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC), (SCD)(SCD) và HH là hình chiếu vuông góc của BB trên SCSC. Xét các khẳng định sau.
aa√2/2ABCDSH
a) (SBC)⊥(SAB)(SBC) \perp (SAB).
b) BH=a155BH = \dfrac{a\sqrt{15}}{5}.
c) Góc nhị diện [B,SC,D][B, SC, D] là góc tù.
d) cos⁡φ=16\cos\varphi = \dfrac{1}{6}.

Trả lời ngắn 10 câu

Nhận biết
Câu 82. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1212, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=16SA = 16. Tính số đo góc nhị diện cạnh ABAB giữa (SAB)(SAB) và (ABCD)(ABCD), đơn vị độ.
Vận dụng
Câu 83. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật với AB=4AB = 4, AD=43AD = 4\sqrt{3}. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là trung điểm HH của cạnh ABAB và góc giữa mặt phẳng (SCD)(SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60∘60^\circ. Gọi α\alpha là góc giữa hai đường thẳng BDBD và SASA. Tính cos⁡α\cos\alpha (làm tròn đến hàng phần trăm).
Thông hiểu
Câu 84. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thang vuông tại AA và BB với AB=BC=3AB = BC = 3, AD=6AD = 6, SASA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa đường thẳng SCSC và mặt phẳng đáy bằng 30∘30^\circ. Góc giữa mặt phẳng (SBC)(SBC) và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) bằng bao nhiêu độ? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Vận dụng
Câu 85. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 3535, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=12SA = 12. Tính côsin của góc nhị diện cạnh BCBC giữa (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Thông hiểu
Câu 86. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 88, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=6SA = 6. Tính tang của góc nhị diện cạnh BCBC giữa (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD).
Vận dụng cao
Câu 87. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD với ABC^=ADC^=90∘\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 90^\circ và SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Gọi HH, KK lần lượt là hình chiếu vuông góc của AA trên SBSB, SDSD; biết AH=10AH = 10, AK=9AK = 9, HK=13HK = 13. Tính số đo của góc nhị diện [B,SC,D][B, SC, D] (làm tròn đến hàng phần mười).
10913ABCDSHK
Vận dụng cao
Câu 88. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=3aSA = 3a. Hai cạnh đáy ABAB, ADAD thay đổi nhưng đường chéo luôn bằng AC=5aAC = 5a. Gọi φ1\varphi_1, φ2\varphi_2 lần lượt là góc giữa (SBC)(SBC), (SCD)(SCD) với mặt đáy. Tìm giá trị nhỏ nhất của tan⁡φ1+tan⁡φ2\tan\varphi_1 + \tan\varphi_2 (làm tròn đến hàng phần trăm).
3a5aABCDS
Vận dụng
Câu 89. Cho hình chóp S.ABCS.ABC. Gọi φ1\varphi_1, φ2\varphi_2, φ3\varphi_3 lần lượt là góc giữa các mặt bên (SAB)(SAB), (SBC)(SBC), (SCA)(SCA) với mặt đáy (ABC)(ABC); HH là hình chiếu vuông góc của SS trên (ABC)(ABC) và K1K_1, K2K_2, K3K_3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của SS trên ABAB, BCBC, CACA. Biết φ3=45∘\varphi_3 = 45^\circ, d(S,CA)=32d(S, CA) = 3\sqrt{2}, φ2=30∘\varphi_2 = 30^\circ và d(S,AB)=4d(S, AB) = 4. Tính khoảng cách d(S,(ABC))d\left(S, (ABC)\right).
φ3φ2φ13√24ABCSHK1K2K3
Vận dụng cao
Câu 90. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có SA=6SA = 6, ASB^=BSC^=135∘\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = 135^\circ và góc nhị diện [A,SB,C]=60∘[A, SB, C] = 60^\circ. Tính khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SBC)(SBC) (làm tròn đến hàng phần trăm).
135°135°660°ABCSMIN
Vận dụng
Câu 91. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật, AB=3AB = 3, AD=6AD = 6, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=6SA = 6. Gọi φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SCD)(SCD). Tính số đo góc φ\varphi (làm tròn đến hàng đơn vị).
636ABCDS

Tự luận 11 câu

Nhận biết
Câu 92. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 3030, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=40SA = 40. Tính số đo góc nhị diện cạnh ABAB giữa (SAB)(SAB) và (ABCD)(ABCD), đơn vị độ.
Thông hiểu
Câu 93. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có cạnh đáy bằng aa, OO là tâm của đáy và SO=aSO = a.
Vận dụng
Câu 94. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 2121, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=20SA = 20. Tính côsin của góc nhị diện cạnh BCBC giữa (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vận dụng cao
Câu 95. Một mái che gập được gồm hai vạt mái phẳng ghép với nhau theo trục xoay dd. Trên mỗi vạt mái có gắn một đầu của một thanh giằng chéo: thanh giằng chéo thứ nhất nối điểm PP của vạt mái thứ nhất với điểm QQ của vạt mái thứ hai.
Gọi HH, KK lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ PP, QQ xuống trục xoay dd. Hai chân này không trùng nhau. Người ta đo được (đơn vị cm\text{cm}, mọi số đo đều chính xác):
Một thanh giằng chéo thứ hai được gắn tương tự nhưng ở vị trí khác, làm phép đo dư để kiểm chứng.
ThanhTừ điểm trên vạt mái thứ nhất tới trục xoayTừ điểm trên vạt mái thứ hai tới trục xoayGiữa hai chân trên trục xoayChiều dài thanh
Thanh thứ nhất1515121216162525
Thanh thứ hai20202222443030

Góc gập cần báo cáo là góc phẳng của góc nhị diện tạo bởi hai vạt mái, tức góc đo trong mặt cắt vuông góc với trục xoay, lấy giá trị trong [0∘;180∘]\left[0^\circ; 180^\circ\right].
Quy định an toàn: góc gập phải nằm trong dải [30∘;90∘]\left[30^\circ; 90^\circ\right].
Thông hiểu
Câu 96. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1515, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=8SA = 8. Tính tang của góc nhị diện cạnh BCBC giữa (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vận dụng
Câu 97. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 11 và SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Biết góc φ\varphi giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SCD)(SCD) có cos⁡φ=13\cos\varphi = \dfrac{1}{3}. Gọi HH là hình chiếu vuông góc của BB trên SCSC. Tính độ dài cạnh SASA.
1ABCDSH
Vận dụng cao
Câu 98. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có SA=6SA = 6, SB=5SB = 5, SC=4SC = 4, BSC^=CSA^=60∘\widehat{BSC} = \widehat{CSA} = 60^\circ và góc nhị diện [A,SC,B]=120∘[A, SC, B] = 120^\circ.
60°60°654120°ABCSMIN
Vận dụng
Câu 99. Cho hình chóp S.ABCS.ABC. Gọi φ1\varphi_1, φ2\varphi_2, φ3\varphi_3 lần lượt là góc giữa các mặt bên (SAB)(SAB), (SBC)(SBC), (SCA)(SCA) với mặt đáy (ABC)(ABC); HH là hình chiếu vuông góc của SS trên (ABC)(ABC) và K1K_1, K2K_2, K3K_3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của SS trên ABAB, BCBC, CACA. Biết φ1=60∘\varphi_1 = 60^\circ, d(S,AB)=833d(S, AB) = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}, φ2=45∘\varphi_2 = 45^\circ và d(S,CA)=5d(S, CA) = 5.
φ1φ2φ38√3/35ABCSHK1K2K3
Vận dụng cao
Câu 100. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=aSA = a. Hai cạnh đáy ABAB, ADAD thay đổi nhưng đường chéo luôn bằng AC=3aAC = 3a. Gọi φ1\varphi_1, φ2\varphi_2 lần lượt là góc giữa (SBC)(SBC), (SCD)(SCD) với mặt đáy.
a3aABCDS
Vận dụng cao
Câu 101. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD với ABC^=ADC^=90∘\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 90^\circ và SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Gọi HH, KK lần lượt là hình chiếu vuông góc của AA trên SBSB, SDSD; biết AH=10AH = 10, AK=12AK = 12, HK=14HK = 14. Gọi φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SCD)(SCD).
101214ABCDSHK
Vận dụng
Câu 102. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có ASB^=BSC^=120∘\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = 120^\circ và góc nhị diện [A,SB,C]=120∘[A, SB, C] = 120^\circ. Tính số đo góc CSA^\widehat{CSA} (làm tròn đến độ).
120°120°120°ABCSMIN

Khoảng cách giữa các đối tượng song song 12 câu

Bài tập khoảng cách giữa các đối tượng song song — Toán lớp 11: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Thông hiểu
Câu 103. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=6AB = 6, AD=9AD = 9 và AA′=18AA' = 18. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB′A′)(ABB'A') và (DCC′D′)(DCC'D') bằng
A 66
B 99
C 1818
D 2121
Vận dụng
Câu 104. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, AD=17AD = 17 và AA′=28AA' = 28. Khoảng cách giữa đường thẳng ABAB và mặt phẳng (A′B′C′D′)(A'B'C'D') bằng
A 00
B 2828
C 1717
D 44
Nhận biết
Câu 105. Khoảng cách giữa đường thẳng dd song song với mặt phẳng (P)(P) và mặt phẳng ấy được tính bằng
A khoảng cách từ một điểm bất kì của dd tới (P)(P)
B độ dài đoạn dd
C khoảng cách giữa hai điểm bất kì của dd và (P)(P)
D luôn bằng 00

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 106. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=3AB = 3, AD=16AD = 16 và AA′=24AA' = 24.
a) Khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng 33.
b) Khoảng cách giữa ABAB và (A′B′C′D′)(A'B'C'D') bằng 2424.
c) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song không phụ thuộc điểm chọn trên đường thẳng.
d) Đường chéo khối AC′AC' bằng 2929.

Trả lời ngắn 4 câu

Nhận biết
Câu 107. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=2AB = 2, AD=6AD = 6 và AA′=9AA' = 9. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABCD)(ABCD) và (A′B′C′D′)(A'B'C'D').
Thông hiểu
Câu 108. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, AD=10AD = 10 và AA′=28AA' = 28. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB′A′)(ABB'A') và (DCC′D′)(DCC'D').
Vận dụng
Câu 109. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=3AB = 3, AD=12AD = 12 và AA′=24AA' = 24. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ABAB và mặt phẳng (A′B′C′D′)(A'B'C'D').
Thông hiểu
Câu 110. Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AA′=14AA'=14 cm. M, N lần lượt là trung điểm AA′, BB′. Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy ABCD theo cm.

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 111. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=16AB = 16, AD=18AD = 18 và AA′=24AA' = 24. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABCD)(ABCD) và (A′B′C′D′)(A'B'C'D').
Thông hiểu
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=18AB = 18, AD=25AD = 25 và AA′=30AA' = 30. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB′A′)(ABB'A') và (DCC′D′)(DCC'D').
Vận dụng
Câu 113. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=12AB = 12, AD=21AD = 21 và AA′=28AA' = 28. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ABAB và mặt phẳng (A′B′C′D′)(A'B'C'D').
Thông hiểu
Câu 114. Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AA′=6AA'=6 cm. M, N lần lượt thuộc AA′, BB′ và AM/AA′=BN/BB′=13AM/AA'=BN/BB'=\dfrac{1}{3}. Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy ABCD theo cm. Giải thích vì sao đường MN song song đáy.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng 20 câu

Bài tập khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng — Toán lớp 11: 20 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 6 câu

Vận dụng
Câu 115. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thang vuông tại AA và BB với AB=BC=aAB = BC = a, AD=2aAD = 2a. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là trung điểm HH của cạnh ADAD và góc giữa mặt phẳng (SCD)(SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45∘45^\circ. Khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SCD)(SCD) bằng
A a4\dfrac{a}{4}
B a2a\sqrt{2}
C a2\dfrac{a}{2}
D aa
Thông hiểu
Câu 116. Hình lập phương có cạnh 44. Khoảng cách giữa hai mặt đối diện bằng
A 44
B 88
C 1616
D 6464
Nhận biết
Câu 117. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 44, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=10SA = 10. Khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD) bằng
A 1414
B 22
C 1010
D 44
Vận dụng
Câu 118. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 33, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=12SA = 12. Khoảng cách từ BB đến đường thẳng SASA bằng
A 1515
B 1212
C 153153
D 33
Thông hiểu
Câu 119. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thoi cạnh aa, BAD^=60∘\widehat{BAD} = 60^\circ, OO là giao điểm của ACAC và BDBD, SOSO vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa mặt phẳng (SCD)(SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45∘45^\circ. Khoảng cách từ điểm DD đến mặt phẳng (SAC)(SAC) bằng
A a74\dfrac{a\sqrt{7}}{4}
B a2\dfrac{a}{2}
C aa
D a2114\dfrac{a\sqrt{21}}{14}
Vận dụng
Câu 120. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 4242, SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD) và SA=144SA=144 . Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (SBC)(SBC) bằng bao nhiêu?
A 100825\dfrac{1008}{25}
B 150150
C 144144
D 4242

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 121. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 33, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=14SA = 14.
a) Khoảng cách từ SS đến (ABCD)(ABCD) bằng 1414.
b) Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD) bằng 1414.
c) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn ngắn nhất nối điểm ấy với một đỉnh của mặt phẳng.
d) Khoảng cách từ BB đến SASA bằng 33.
Vận dụng
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thang vuông tại AA và BB với AB=BC=aAB = BC = a, AD=2aAD = 2a. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là trung điểm HH của cạnh ADAD và góc giữa mặt phẳng (SCD)(SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60∘60^\circ.
a) SB=a142SB = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}.
b) Thể tích khối chóp S.ABCDS.ABCD bằng 3a364\dfrac{3a^{3}\sqrt{6}}{4}.
c) Khoảng cách từ HH đến mặt phẳng (SCD)(SCD) bằng a22\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.
d) Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (SCD)(SCD) bằng a68\dfrac{a\sqrt{6}}{8}.

Trả lời ngắn 6 câu

Nhận biết
Câu 123. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 77, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=10SA = 10. Tính khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
Thông hiểu
Câu 124. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật với AB=2AB = 2, AD=22AD = 2\sqrt{2}, OO là giao điểm của ACAC và BDBD, SOSO vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=22SA = 2\sqrt{2}. Tính khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (SBD)(SBD).
Vận dụng
Câu 125. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác đều cạnh 33. Hình chiếu vuông góc của SS trên mặt phẳng (ABC)(ABC) là trung điểm HH của cạnh ABAB và góc giữa đường thẳng SASA và mặt phẳng đáy bằng 30∘30^\circ. Tính khoảng cách từ điểm BB đến mặt phẳng (SAC)(SAC).
Thông hiểu
Câu 126. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 77, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=12SA = 12. Tính khoảng cách từ BB đến đường thẳng SASA.
Vận dụng
Câu 127. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 44, 88, 88. Tính bình phương khoảng cách từ tâm hình hộp đến một đỉnh.
Vận dụng
Câu 128. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB=222 cm, AD=296 cm, SA vuông góc đáy và SC=962 cm. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy là bao nhiêu cm?

Tự luận 6 câu

Nhận biết
Câu 129. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 22, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=7SA = 7. Tính khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
Thông hiểu
Câu 130. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 66, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=9SA = 9. Tính khoảng cách từ BB đến đường thẳng SASA.
Vận dụng
Câu 131. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1212, SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD) và SA=9SA=9 . a) Chứng minh BC⊥(SAB)BC\perp(SAB). b) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (SBC)(SBC).
Vận dụng
Câu 132. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thoi cạnh aa, BAD^=60∘\widehat{BAD} = 60^\circ, OO là giao điểm của ACAC và BDBD, SOSO vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa mặt phẳng (SAD)(SAD) và mặt phẳng đáy bằng 30∘30^\circ.
Vận dụng
Câu 133. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 22, 44, 44. Tính bình phương khoảng cách từ tâm hình hộp đến một đỉnh.
Vận dụng
Câu 134. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB=54 cm, AD=72 cm, SA vuông góc đáy và SC=234 cm. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy là bao nhiêu cm? Trình bày lập luận và các bước tính.

Hình chóp cụt đều và thể tích 14 câu

Bài tập hình chóp cụt đều và thể tích — Toán lớp 11: 14 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 5 câu

Nhận biết
Câu 135. Thể tích khối chóp cụt có hai đáy diện tích S1S_1, S2S_2 và chiều cao hh được tính bởi
A V=h2(S1+S2)V = \dfrac{h}{2}\left(S_1 + S_2\right)
B V=h3(S1+S2+S1S2)V = \dfrac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)
C V=h3(S1+S2)V = \dfrac{h}{3}\left(S_1 + S_2\right)
D V=h(S1+S2+S1S2)V = h\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)
Vận dụng
Câu 136. Khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là S1=4S_1 = 4 và S2=36S_2 = 36, chiều cao h=21h = 21. Thể tích khối chóp cụt bằng
A 280280
B 420420
C 364364
D 10921092
Vận dụng cao
Câu 137. Một khối chóp cao 2424 cm được hai mặt phẳng song song đáy cắt thành ba phần theo thứ tự từ đỉnh xuống. Đặt h1<h2h_1<h_2 là khoảng cách từ đỉnh tới hai mặt cắt. Cả ba phần phải có cùng thể tích. Cặp độ cao nào đúng (cm)?
A h1=24133, h2=24233h_1=24\sqrt[3]{\dfrac13},\ h_2=24\sqrt[3]{\dfrac23}
B h1=24133, h2=24(1−133)h_1=24\sqrt[3]{\dfrac13},\ h_2=24\left(1-\sqrt[3]{\dfrac13}\right)
C h1=2413, h2=2423h_1=24\sqrt{\dfrac13},\ h_2=24\sqrt{\dfrac23}
D h1=8, h2=16h_1=8,\ h_2=16
Thông hiểu
Câu 138. Hai đa giác đồng dạng với tỉ số 44. Tỉ số diện tích của chúng bằng
A 44
B 6464
C 1616
D 88
Vận dụng
Câu 139. Một hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 66 cm, chiều cao 66 cm. Mặt phẳng song song đáy cắt chóp tại khoảng cách 32\dfrac{3}{2} cm từ đỉnh theo đường cao, rồi bỏ phần chóp nhỏ phía trên. Tính thể tích chóp cụt còn lại theo cm3^3.
A 5678\dfrac{567}{8}
B 1352\dfrac{135}{2}
C 7272
D 5454

Câu đúng / sai 1 câu

Vận dụng
Câu 140. Khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là S1=25S_1 = 25 và S2=81S_2 = 81, chiều cao h=6h = 6.
a) Công thức thể tích khối chóp cụt có ba số hạng trong ngoặc.
b) S2S_2 nhỏ hơn S1S_1.
c) Chiều cao của khối chóp cụt bằng 2525.
d) Thể tích khối chóp cụt bằng 302302.

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu
Câu 141. Khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là S1=49S_1 = 49 và S2=81S_2 = 81, chiều cao h=21h = 21. Tính S1S2\sqrt{S_1 S_2}.
Vận dụng
Câu 142. Khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là S1=9S_1 = 9 và S2=16S_2 = 16, chiều cao h=3h = 3. Tính thể tích khối chóp cụt.
Nhận biết
Câu 143. Hai đa giác đồng dạng với tỉ số 55. Tính tỉ số diện tích của chúng.

Tự luận 5 câu

Nhận biết
Câu 144. Hai đa giác đồng dạng với tỉ số 55. Tính tỉ số diện tích của chúng.
Thông hiểu
Câu 145. Khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là S1=25S_1 = 25 và S2=121S_2 = 121, chiều cao h=6h = 6. Tính S1S2\sqrt{S_1 S_2}.
Vận dụng
Câu 146. Một hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 33 cm, chiều cao 2424 cm. Mặt phẳng song song đáy cắt chóp tại khoảng cách 66 cm từ đỉnh theo đường cao, rồi bỏ phần chóp nhỏ phía trên. Tính cạnh của hình vuông thiết diện, thể tích chóp nhỏ bị bỏ và thể tích chóp cụt còn lại. Kiểm thể tích nhỏ bằng luật đồng dạng.
Vận dụng cao
Câu 147. Một khối chóp cao 1212 cm được hai mặt phẳng song song đáy cắt thành ba phần theo thứ tự từ đỉnh xuống. Đặt h1<h2h_1<h_2 là khoảng cách từ đỉnh tới hai mặt cắt. Cả ba phần phải có cùng thể tích. Tìm chính xác hai độ cao và giải thích vì sao không thể chia chiều cao đều.
Vận dụng
Câu 148. Khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là S1=64S_1 = 64 và S2=144S_2 = 144, chiều cao h=18h = 18. Tính thể tích khối chóp cụt.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 20 câu

Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng — Toán lớp 11: 20 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 7 câu

Nhận biết
Câu 149. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thoi và SASA vuông góc với mặt phẳng đáy. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SCSC trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là đường thẳng
A ACAC
B SASA
C BCBC
D ABAB
Vận dụng
Câu 150. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 2121, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=20SA = 20. Giá trị SC2SC^2 bằng
A 841841
B 882882
C 12821282
D 16811681
Thông hiểu
Câu 151. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1818, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=24SA = 24. Độ dài SBSB bằng
A 3030
B 4242
C 66
D 2424
Nhận biết
Câu 152. Đường thẳng dd vuông góc với mặt phẳng (P)(P) khi dd vuông góc với
A hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)(P)
B mọi đường thẳng của không gian
C một đường thẳng nằm trong (P)(P)
D hai đường thẳng song song nằm trong (P)(P)
Thông hiểu
Câu 153. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác vuông tại AA, SASA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi MM là hình chiếu vuông góc của AA trên BCBC. Khẳng định nào sau đây sai?
A (SAB)⊥(SAC)(SAB) \perp (SAC)
B AB⊥(SAC)AB \perp (SAC)
C AM⊥(SAB)AM \perp (SAB)
D AC⊥SBAC \perp SB
Vận dụng
Câu 154. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình thang vuông tại AA và BB với AB=BC=aAB = BC = a, AD=2aAD = 2a; SASA vuông góc với mặt phẳng đáy. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?
A 33
B 11
C 44
D 22
Vận dụng
Câu 155. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 66, tâm OO, và SA=SB=SC=SD=307SA=SB=SC=SD=\sqrt{307}. Tính độ dài SOSO.
A 298\sqrt{298}
B 289289
C 1717
D 307\sqrt{307}

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 156. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1616, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=12SA = 12.
a) SA∥ABSA \parallel AB.
b) Khoảng cách từ SS đến (ABCD)(ABCD) bằng 1212.
c) Muốn kết luận d⊥(P)d \perp (P) thì cần dd vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P)(P).
d) SB=20SB = 20.
Vận dụng
Câu 157. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Gọi HH, KK lần lượt là hình chiếu vuông góc của AA trên SBSB, SDSD.
a) Mặt phẳng (SBC)(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
b) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SDSD trên mặt phẳng (ABCD)(ABCD) là đường thẳng ADAD.
c) Đường thẳng AHAH vuông góc với mặt phẳng (SCD)(SCD).
d) Đường thẳng AHAH vuông góc với đường thẳng SCSC.

Trả lời ngắn 6 câu

Nhận biết
Câu 158. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 66, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=8SA = 8. Tính khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
Thông hiểu
Câu 159. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác vuông tại BB và SA⊥(ABC)SA \perp (ABC). Trong các mặt phẳng (SAB)(SAB), (SAC)(SAC), (SBC)(SBC), có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC)(ABC)?
Vận dụng
Câu 160. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1515, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=20SA = 20. Tính SC2SC^2.
Thông hiểu
Câu 161. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 66, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=8SA = 8. Tính độ dài SBSB.
Vận dụng
Câu 162. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 44, tâm OO, và SA=SB=SC=SD=233SA=SB=SC=SD=\sqrt{233}. Tính độ dài SOSO.
Vận dụng
Câu 163. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có OO là giao điểm của ACAC và BDBD. Trong các đường thẳng SCSC, CDCD, ABAB, ADAD, BCBC, SASA, ACAC, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SBD)(SBD)?

Tự luận 5 câu

Nhận biết
Câu 164. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1212, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=9SA = 9. Tính khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD).
Thông hiểu
Câu 165. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 99, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=12SA = 12. Tính độ dài SBSB.
Thông hiểu
Câu 166. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có OO là giao điểm của ACAC và BDBD.
Vận dụng
Câu 167. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 1010, tâm OO, và SA=SB=SC=SD=171SA=SB=SC=SD=\sqrt{171}. Tính độ dài SOSO. Giải thích vì sao SOSO vuông góc với đáy.
Vận dụng
Câu 168. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh 2424, SA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD) và SA=7SA = 7. Tính SC2SC^2.

Phép chiếu vuông góc 12 câu

Bài tập phép chiếu vuông góc — Toán lớp 11: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Nhận biết
Câu 169. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=30SA = 30. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=16AM = 16. Hình chiếu vuông góc của đường xiên SMSM lên (P)(P) là
A điểm MM
B AMAM
C SMSM
D SASA
Thông hiểu
Câu 170. Điểm SS cách mặt phẳng (P)(P) một khoảng 2727 cm. Gọi HH là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P), và M∈(P)M\in(P) với SM=123SM=123 cm. Độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn SM lên mặt phẳng bằng bao nhiêu?
A 15858 cm\sqrt{15858}\,\mathrm{cm}
B 120 cm120\,\mathrm{cm}
C 96 cm96\,\mathrm{cm}
D 123 cm123\,\mathrm{cm}
Vận dụng
Câu 171. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=3SA = 3. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=4AM = 4. Khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (P)(P) bằng
A 77
B 33
C 44
D 55
Thông hiểu
Câu 172. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=28SA = 28. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=21AM = 21. Độ dài đường xiên SMSM bằng
A 77
B 4949
C 2121
D 3535

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 173. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=3SA = 3. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=4AM = 4. Điểm NN nằm trong (P)(P) với AN=9AN = 9.
a) Khoảng cách từ SS đến (P)(P) bằng 55.
b) SM=7SM = 7.
c) Đường xiên luôn dài hơn hình chiếu của nó.
d) SN≈9,49SN \approx 9{,}49.

Trả lời ngắn 4 câu

Thông hiểu
Câu 174. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=3SA = 3. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=4AM = 4. Tính độ dài đường xiên SMSM.
Vận dụng
Câu 175. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=30SA = 30. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=40AM = 40. Điểm NN nằm trong (P)(P) với AN=41AN = 41. Tính độ dài đường xiên SNSN (làm tròn đến hàng phần trăm).
Thông hiểu
Câu 176. Điểm SS cách mặt phẳng (P)(P) một khoảng 224224 cm. Gọi HH là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P), và M∈(P)M\in(P) với SM=226SM=226 cm. Tính độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn SM lên mặt phẳng.
Nhận biết
Câu 177. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=15SA = 15. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=20AM = 20. Tính khoảng cách từ SS đến (P)(P).

Tự luận 3 câu

Thông hiểu
Câu 178. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=21SA = 21. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=20AM = 20. Tính độ dài đường xiên SMSM.
Vận dụng
Câu 179. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=21SA = 21. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=20AM = 20. Điểm NN nằm trong (P)(P) với AN=28AN = 28. Tính độ dài đường xiên SNSN.
Nhận biết
Câu 180. Cho điểm SS nằm ngoài mặt phẳng (P)(P), AA là hình chiếu vuông góc của SS lên (P)(P) với SA=40SA = 40. Điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=30AM = 30. Tính khoảng cách từ SS đến (P)(P).

Hai đường thẳng vuông góc 10 câu

Bài tập hai đường thẳng vuông góc — Toán lớp 11: 10 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Thông hiểu
Câu 181. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1616. Khẳng định nào sau đây đúng về hai đường thẳng ABAB và ACAC?
A ABAB không vuông góc ACAC
B AB≡ACAB \equiv AC
C AB∥ACAB \parallel AC
D AB⊥ACAB \perp AC
Nhận biết
Câu 182. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 2020. Hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian
A bắt buộc phải cắt nhau
B không nhất thiết phải cắt nhau
C bắt buộc phải cùng nằm trong một mặt phẳng đáy
D bắt buộc phải đồng phẳng
Vận dụng
Câu 183. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1616. Số cạnh của hình lập phương vuông góc với cạnh ABAB là
A 44
B 33
C 88
D 1111

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 184. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1919, hai đường thẳng ABAB và CC′CC', cùng hai vectơ u⃗=(−3;−4;4)\vec u = \left(-3; -4; 4\right) và v⃗=(−4;5;m)\vec v = \left(-4; 5; m\right).
a) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian không nhất thiết cắt nhau.
b) AB⊥ADAB \perp AD.
c) Để u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v thì m=2m = 2.
d) Đường chéo ACAC song song với BDBD.

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu
Câu 185. Hai vectơ u⃗=(−5;−4;4)\vec u = \left(-5; -4; 4\right) và v⃗=(1;0;m)\vec v = \left(1; 0; m\right) vuông góc. Tính mm.
Vận dụng
Câu 186. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 55. Tính số cạnh vuông góc với cạnh ABAB.
Vận dụng
Câu 187. Trong Oxyz, d1:(x;y;z)=t(1;6;−5)d_1:(x;y;z)=t(1; 6; -5) và d2,m:(x;y;z)=(2;0;0)+s(m;5;2)d_{2,m}:(x;y;z)=(2; 0; 0)+s(m;5;2), t,s∈Rt,s\in\mathbb R. Tìm m để hai hướng vuông góc (trả lời kèm dấu).

Tự luận 3 câu

Thông hiểu
Câu 188. Hai vectơ u⃗=(−4;−1;4)\vec u = \left(-4; -1; 4\right) và v⃗=(−1;4;m)\vec v = \left(-1; 4; m\right) vuông góc. Tính mm.
Vận dụng
Câu 189. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 1818. Tính số cạnh vuông góc với cạnh ABAB.
Vận dụng
Câu 190. Trong Oxyz, d1:(x;y;z)=t(1;6;−1)d_1:(x;y;z)=t(1; 6; -1) và d2,m:(x;y;z)=(2;0;0)+s(m;2;4)d_{2,m}:(x;y;z)=(2; 0; 0)+s(m;2;4), t,s∈Rt,s\in\mathbb R.

Hai mặt phẳng vuông góc 12 câu

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc — Toán lớp 11: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Thông hiểu
Câu 191. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=12AB = 12, AD=16AD = 16 và AA′=21AA' = 21. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (ABCD)(ABCD)?
A (ABB′A′)(ABB'A')
B không có mặt nào
C (A′B′C′D′)(A'B'C'D')
D (ABCD)(ABCD)
Vận dụng
Câu 192. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=2AB = 2, AD=10AD = 10 và AA′=25AA' = 25. Bình phương độ dài đường chéo ACAC của mặt đáy bằng
A 104104
B 2020
C 729729
D 144144
Nhận biết
Câu 193. Mặt phẳng (P)(P) vuông góc với mặt phẳng (Q)(Q) khi
A (P)(P) song song với một đường thẳng của (Q)(Q)
B (P)(P) và (Q)(Q) có một điểm chung
C (P)(P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q)(Q)
D (P)(P) chứa một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng của (Q)(Q)

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 194. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, AD=17AD = 17 và AA′=28AA' = 28.
a) (A′B′C′D′)∥(ABCD)(A'B'C'D') \parallel (ABCD).
b) Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng vuông góc bằng 45∘45^\circ.
c) AC2=1089AC^2 = 1089.
d) Mọi mặt bên của hình hộp chữ nhật đều song song với hai mặt đáy.
Vận dụng
Câu 195. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=4AB=4, AD=8AD=8, SA=1SA=1 và SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD).
a) (SAB)⊥(ABCD)(SAB)\perp(ABCD).
b) (SAB)(SAB) và (SAD)(SAD) không vuông góc.
c) (SBC)⊥(ABCD)(SBC)\perp(ABCD).
d) (SBC)⊥(SAB)(SBC)\perp(SAB).

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu
Câu 196. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=14AB = 14, AD=18AD = 18 và AA′=21AA' = 21. Tính bình phương độ dài đường chéo ACAC của mặt đáy.
Vận dụng
Câu 197. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, AD=13AD = 13 và AA′=16AA' = 16. Tính độ dài đường chéo AC′AC' của khối hộp.
Nhận biết
Câu 198. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=2AB = 2, AD=14AD = 14 và AA′=23AA' = 23. Tính số đo góc nhị diện giữa mặt bên (ABB′A′)(ABB'A') và mặt đáy (ABCD)(ABCD), đơn vị độ.

Tự luận 4 câu

Thông hiểu
Câu 199. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=20AB = 20, AD=28AD = 28 và AA′=29AA' = 29. Tính bình phương độ dài đường chéo ACAC của mặt đáy.
Vận dụng
Câu 200. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=4AB=4, AD=3AD=3, SA=6SA=6 và SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD).
Nhận biết
Câu 201. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=14AB = 14, AD=18AD = 18 và AA′=21AA' = 21. Tính số đo góc nhị diện giữa mặt bên (ABB′A′)(ABB'A') và mặt đáy (ABCD)(ABCD), đơn vị độ.
Vận dụng
Câu 202. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=12AB = 12, AD=16AD = 16 và AA′=21AA' = 21. Tính độ dài đường chéo AC′AC' của khối hộp.

Hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật, hình lập phương và hình chóp đều 6 câu

Bài tập hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật, hình lập phương và hình chóp đều — Toán lớp 11: 6 câu từ vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 1 câu

Vận dụng
Câu 203. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 22. Tính bình phương độ dài đường chéo một mặt của hình lập phương.
2ABCDA'B'C'D'
A 1212
B 1616
C 44
D 88

Câu đúng / sai 1 câu

Vận dụng
Câu 204. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=4AB = 4, đường chéo đáy AC=41AC = \sqrt{41} và đường chéo AC′=77AC' = \sqrt{77}. Xét các khẳng định sau.
4ABCDA'B'C'D'
a) Khoảng cách từ A′A' đến mặt phẳng (ABCD)(ABCD) bằng 66.
b) AC′2=77AC'^2 = 77.
c) Thể tích khối hộp bằng 4040.
d) Gọi OO là tâm khối hộp thì OA2=774OA^2 = \dfrac{77}{4}.

Trả lời ngắn 2 câu

Vận dụng
Câu 205. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 55. Tính bình phương độ dài đường chéo một mặt của hình lập phương.
5ABCDA'B'C'D'
Vận dụng
Câu 206. Chóp đều S.ABCD có đáy vuông cạnh 1414 cm, tâm O, chiều cao SO=3SO=3 cm; M là trung điểm AB. Tính thể tích theo cm³, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Tự luận 2 câu

Vận dụng
Câu 207. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 99. Tính thể tích khối lập phương.
9ABCDA'B'C'D'
Vận dụng
Câu 208. Chóp đều S.ABCD có đáy vuông cạnh 22 cm, tâm O, chiều cao SO=6SO=6 cm; M là trung điểm AB.

Định lí ba đường vuông góc 12 câu

Bài tập định lí ba đường vuông góc — Toán lớp 11: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 209. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=24SA = 24, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=18AM = 18. Đường thẳng dd nằm trong (P)(P), đi qua MM và vuông góc với AMAM. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có
A SM∥dSM \parallel d
B SM≡dSM \equiv d
C SM⊥dSM \perp d
D SA⊥dSA \perp d nhưng SM thıˋ khoˆngSM \text{ thì không}
Vận dụng
Câu 210. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=9SA = 9, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=12AM = 12. Đường thẳng dd nằm trong (P)(P), đi qua MM và vuông góc với AMAM. Khoảng cách từ SS đến đường thẳng dd bằng
A 99
B 2121
C 1515
D 1212
Thông hiểu
Câu 211. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=16SA = 16, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=30AM = 30. Độ dài SMSM bằng
A 4646
B 3434
C 11561156
D 1414

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 212. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=16SA = 16, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=30AM = 30. Đường thẳng dd nằm trong (P)(P), đi qua MM và vuông góc với AMAM.
a) SM=46SM = 46.
b) SM∥dSM \parallel d.
c) Khoảng cách từ SS đến dd bằng 3434.
d) Định lí ba đường vuông góc cho phép kiểm quan hệ vuông góc bằng cách xét hình chiếu.
Vận dụng
Câu 213. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=3AB=3, AD=4AD=4, SA=11SA=11 và SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD). M là chân đường vuông góc từ A xuống BD.
a) AM=5AM=5.
b) SM⊥BDSM\perp BD.
c) SM=125SM=\dfrac{12}{5}.
d) d(S,BD)=31695d(S,BD)=\dfrac{\sqrt{3169}}{5}.

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết
Câu 214. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=48SA = 48, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=14AM = 14. Tính độ dài SMSM.
Thông hiểu
Câu 215. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=6SA = 6, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=8AM = 8. Đường thẳng dd nằm trong (P)(P), đi qua MM và vuông góc với AMAM. Tính khoảng cách từ SS đến đường thẳng dd.
Vận dụng
Câu 216. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=3SA = 3, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=4AM = 4. Tính diện tích tam giác SAMSAM.

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 217. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=15SA = 15, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=36AM = 36. Tính độ dài SMSM.
Thông hiểu
Câu 218. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=30SA = 30, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=16AM = 16. Đường thẳng dd nằm trong (P)(P), đi qua MM và vuông góc với AMAM. Tính khoảng cách từ SS đến đường thẳng dd.
Vận dụng
Câu 219. Hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=20AB=20, AD=48AD=48, SA=19SA=19 và SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD). M là chân đường vuông góc từ A xuống BD.
Vận dụng
Câu 220. Cho SA⊥(P)SA \perp (P) với SA=4SA = 4, điểm MM nằm trong (P)(P) và AM=3AM = 3. Tính diện tích tam giác SAMSAM.

Thể tích hình chóp, hình lăng trụ và hình hộp 35 câu

Bài tập thể tích hình chóp, hình lăng trụ và hình hộp — Toán lớp 11: 35 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 10 câu

Thông hiểu
Câu 221. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=5AB = 5, AD=3AD = 3, AA′=7AA' = 7. Tính thể tích VV của khối hộp.
537ABCDA'B'C'D'
A 142142
B 3535
C 6060
D 105105
Nhận biết
Câu 222. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có thể tích bằng 180180 và SABC=20S_{ABC} = 20. Tính chiều cao AA′AA'.
ABCA'B'C'
A 36003600
B 19\dfrac{1}{9}
C 99
D 2727
Thông hiểu
Câu 223. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác đều cạnh aa, SA⊥(ABC)SA \perp (ABC), SB=a5SB = a\sqrt{5}. Độ dài đoạn SASA bằng
A 2a2a
B aa
C 4a4a
D a5a\sqrt{5}
Vận dụng
Câu 224. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCDABCD với diện tích bằng 4848 và chu vi bằng 2828, cạnh bên AA′=3AA' = 3. Biết AB<ADAB < AD. Tính độ dài cạnh ABAB.
3ABCDA'B'C'D'
A 33
B 88
C 66
D 1414
Vận dụng
Câu 225. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCS.ABC có cạnh đáy bằng aa. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60∘60^\circ. Thể tích khối chóp S.ABCS.ABC bằng
A a3336\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{36}
B a334\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{4}
C a3312\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{12}
D a3324\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{24}
Vận dụng cao
Câu 226. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có SA=2SA = 2, SB=3SB = 3, SC=2SC = 2, ASB^=90∘\widehat{ASB} = 90^\circ, BSC^=90∘\widehat{BSC} = 90^\circ, CSA^=60∘\widehat{CSA} = 60^\circ. Tính khoảng cách từ đỉnh SS đến mặt phẳng (ABC)(ABC).
232ABCS60°KH
A 33
B 32\dfrac{3}{2}
C 12\dfrac{1}{2}
D 32211\dfrac{3\sqrt{22}}{11}
Vận dụng cao
Câu 227. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác đều. Biết góc nhị diện [S,AB,C]\left[S, AB, C\right] bằng 50∘50^\circ và góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 75∘75^\circ. Tính tỉ số SSABSSBC\dfrac{S_{SAB}}{S_{SBC}} (làm tròn đến hàng phần trăm).
50°75°ABCSHEF
A 1,51{,}5
B 3,133{,}13
C 0,790{,}79
D 1,261{,}26
Vận dụng cao
Câu 228. Cho tứ diện ABCDABCD có thể tích bằng 108108, AB=10AB = 10 và CD=12CD = 12. Trên cạnh ABAB lấy hai điểm MM, NN; trên cạnh CDCD lấy hai điểm PP, QQ sao cho MN+PQ=10MN + PQ = 10. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện MNPQMNPQ.
1012ABCDMNPQ
A 9090
B 54011\dfrac{540}{11}
C 4545
D 452\dfrac{45}{2}
Vận dụng
Câu 229. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có diện tích các tam giác ABCABC và SBCSBC lần lượt là 3434 và 3636, số đo góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 45∘45^\circ. Biết thể tích khối chóp S.ABCS.ABC bằng 51251\sqrt{2}. Tính độ dài cạnh BCBC.
45°ABCSK
A 2424
B 828\sqrt{2}
C 88
D 44
Vận dụng
Câu 230. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có SA=SB=SC=6SA = SB = SC = 6, ASB^=135∘\widehat{ASB} = 135^\circ, BSC^=90∘\widehat{BSC} = 90^\circ, CSA^=60∘\widehat{CSA} = 60^\circ. Tính khoảng cách từ điểm CC đến mặt phẳng (SAB)(SAB).
666ABCS135°60°
A 66
B 323\sqrt{2}
C 322\dfrac{3\sqrt{2}}{2}
D 2\sqrt{2}

Câu đúng / sai 6 câu

Thông hiểu
Câu 231. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có SABC=27S_{ABC} = 27 và chiều cao AA′=4AA' = 4. Xét các khẳng định sau.
4ABCA'B'C'
a) Thể tích khối lăng trụ bằng 3636.
b) Chiều cao AA′AA' bằng 44.
c) Giữ nguyên chiều cao và tăng diện tích đáy lên 22 lần thì thể tích không đổi.
d) Diện tích đáy SABCS_{ABC} bằng 8181.
Vận dụng
Câu 232. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác đều cạnh aa, SA⊥(ABC)SA \perp (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC)(SBC) và mặt phẳng (ABC)(ABC) bằng 30∘30^\circ.
a) Diện tích đáy ABCABC bằng a232\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.
b) Nếu MM là trung điểm của BCBC thì góc giữa (SBC)(SBC) và (ABC)(ABC) là góc SMA^\widehat{SMA}.
c) Thể tích khối chóp S.ABCS.ABC bằng a3324\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{24}.
d) Nếu a=3a = 3 thì thể tích khối chóp S.ABCS.ABC xấp xỉ 0,970{,}97.
Vận dụng
Câu 233. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCDABCD với diện tích bằng 1818 và chu vi bằng 1818, cạnh bên AA′=5AA' = 5. Biết AB<ADAB < AD. Xét các khẳng định sau.
5ABCDA'B'C'D'
a) AB=3AB = 3.
b) AC2=45AC^2 = 45.
c) V=30V = 30.
d) VA′ABD=15V_{A'ABD} = 15.
Thông hiểu
Câu 234. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=5AB = 5, AD=2AD = 2, AA′=8AA' = 8. Xét các khẳng định sau.
528ABCDA'B'C'D'
a) Tổng độ dài mười hai cạnh bằng 6060.
b) AC2=29AC^2 = 29.
c) VA′ABD=803V_{A'ABD} = \dfrac{80}{3}.
d) Hai đường chéo ACAC và BDBD của mặt đáy vuông góc với nhau.
Vận dụng
Câu 235. Cho tứ diện ABCDABCD có thể tích bằng 120120, AB=8AB = 8, CD=10CD = 10. Gọi dd là khoảng cách và φ\varphi là góc giữa hai đường thẳng ABAB, CDCD. Trên cạnh ABAB lấy hai điểm MM, NN với MN=2MN = 2; trên cạnh CDCD lấy hai điểm PP, QQ với PQ=4PQ = 4. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
810ABCDMNPQ
a) VMNPQ=40V_{MNPQ} = 40.
b) Có thể xảy ra d=8d = 8.
c) Nếu φ=45∘\varphi = 45^\circ thì d=92d = 9\sqrt{2}.
d) Nếu d=9d = 9 thì AB⊥CDAB \perp CD.
Vận dụng
Câu 236. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có BC=10BC = 10, diện tích các tam giác ABCABC và SBCSBC lần lượt là 3838 và 3636, số đo góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 30∘30^\circ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
30°10ABCSK
a) Khoảng cách từ SS đến mặt phẳng (ABC)(ABC) bằng 3,63{,}6.
b) Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (SBC)(SBC) bằng 7,67{,}6.
c) Giữ nguyên BCBC và diện tích hai mặt (SBC)(SBC), (ABC)(ABC), thể tích khối chóp lớn nhất khi góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 45∘45^\circ.
d) Giữ nguyên BCBC và diện tích hai mặt (SBC)(SBC), (ABC)(ABC), nếu góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 150∘150^\circ thì thể tích khối chóp không đổi.

Trả lời ngắn 10 câu

Nhận biết
Câu 237. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có thể tích bằng 216216 và SABC=27S_{ABC} = 27. Tính chiều cao AA′AA'.
ABCA'B'C'
Vận dụng
Câu 238. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 22, SA⊥(ABC)SA \perp (ABC), SB=4SB = 4. Tính thể tích khối chóp S.ABCS.ABC.
Thông hiểu
Câu 239. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=5AB = 5, AD=2AD = 2, AA′=2AA' = 2. Tính thể tích VV của khối hộp.
522ABCDA'B'C'D'
Vận dụng
Câu 240. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCDABCD với diện tích bằng 4040 và chu vi bằng 2626, cạnh bên AA′=6AA' = 6. Biết AB<ADAB < AD. Tính AC′2AC'^2.
6ABCDA'B'C'D'
Vận dụng
Câu 241. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có ASB^=90∘\widehat{ASB} = 90^\circ, BSC^=120∘\widehat{BSC} = 120^\circ, CSA^=45∘\widehat{CSA} = 45^\circ và SA⋅SB⋅SC=30SA \cdot SB \cdot SC = 30. Tính thể tích khối chóp S.ABCS.ABC.
ABCS120°45°
Vận dụng cao
Câu 242. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có SA=3SA = 3, SB=4SB = 4, SC=6SC = 6, ASB^=60∘\widehat{ASB} = 60^\circ, BSC^=90∘\widehat{BSC} = 90^\circ, CSA^=90∘\widehat{CSA} = 90^\circ. Tính khoảng cách từ đỉnh SS đến mặt phẳng (ABC)(ABC) (làm tròn đến hàng phần mười).
346ABCS60°KH
Vận dụng cao
Câu 243. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác đều. Biết SSAB=1,1SSBCS_{SAB} = 1{,}1S_{SBC} và góc nhị diện [S,AB,C]\left[S, AB, C\right] bằng 45∘45^\circ. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABC)(ABC) (làm tròn đến hàng phần trăm).
45°ABCSHEF
Vận dụng cao
Câu 244. Trên hai đường thẳng chéo nhau Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 vuông góc với nhau và cách nhau một khoảng bằng 55, lấy đoạn thẳng ABAB thuộc Δ1\Delta_1 và đoạn thẳng MNMN thuộc Δ2\Delta_2 sao cho AB+2MN=12AB + 2MN = 12. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABMNABMN.
5ABMNΔ1Δ2
Vận dụng
Câu 245. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có BC=6BC = 6, diện tích tam giác ABCABC bằng 2727, số đo góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 45∘45^\circ. Biết thể tích khối chóp S.ABCS.ABC bằng 36236\sqrt{2}. Tính diện tích tam giác SBCSBC.
45°6ABCSK
Vận dụng
Câu 246. Cho tứ diện ABCDABCD có thể tích bằng 130130. Trên cạnh ABAB lấy hai điểm MM, NN; trên cạnh CDCD lấy hai điểm PP, QQ sao cho CD=2MNCD = 2MN, AB=5PQAB = 5PQ. Tính thể tích khối tứ diện MNPQMNPQ.
ABCDMNPQ

Tự luận 9 câu

Nhận biết
Câu 247. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có thể tích bằng 156156 và SABC=13S_{ABC} = 13. Tính chiều cao AA′AA'.
ABCA'B'C'
Vận dụng
Câu 248. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCS.ABC có cạnh đáy bằng aa. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60∘60^\circ.
Thông hiểu
Câu 249. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=5AB = 5, AD=6AD = 6, AA′=5AA' = 5. Tính thể tích VV của khối hộp.
565ABCDA'B'C'D'
Vận dụng
Câu 250. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCDABCD với diện tích bằng 4242 và chu vi bằng 2626, cạnh bên AA′=6AA' = 6. Biết AB<ADAB < AD. Tính độ dài cạnh ADAD.
6ABCDA'B'C'D'
Vận dụng cao
Câu 251. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác ABCABC vuông tại BB có AB=6AB = 6, BC=8BC = 8. Biết SSAB=1,1SSBCS_{SAB} = 1{,}1S_{SBC} và góc nhị diện [S,AB,C]\left[S, AB, C\right] bằng 35∘35^\circ. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABC)(ABC), đơn vị độ.
35°68ABCSHEF
Vận dụng
Câu 252. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có diện tích các tam giác ABCABC và SBCSBC lần lượt là 4646 và 3636, số đo góc nhị diện [S,BC,A]\left[S, BC, A\right] bằng 30∘30^\circ. Biết thể tích khối chóp S.ABCS.ABC bằng 6969. Tính độ dài cạnh BCBC.
30°ABCSK
Vận dụng cao
Câu 253. Cho hình chóp S.ABCS.ABC (như hình vẽ) có ASB^=135∘\widehat{ASB} = 135^\circ, BSC^=60∘\widehat{BSC} = 60^\circ, CSA^=90∘\widehat{CSA} = 90^\circ và d(B,(SAC))=5d\left(B, (SAC)\right) = 5. Tính độ dài cạnh SBSB.
ABCS135°60°
Vận dụng cao
Câu 254. Cho tứ diện ABCDABCD có thể tích bằng 1212, AB=6AB = 6 và CD=3CD = 3. Trên cạnh ABAB lấy hai điểm MM, NN; trên cạnh CDCD lấy hai điểm PP, QQ sao cho MN+PQ=3MN + PQ = 3. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện MNPQMNPQ và độ dài MNMN, PQPQ khi đó.
63ABCDMNPQ
Vận dụng
Câu 255. Trên hai đường thẳng chéo nhau Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 cách nhau một khoảng bằng 66, lấy đoạn thẳng AB=5AB = 5 thuộc Δ1\Delta_1 và đoạn thẳng MN=8MN = 8 thuộc Δ2\Delta_2 sao cho thể tích khối tứ diện ABMNABMN bằng 2020. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2, đơn vị độ.
658ABMNΔ1Δ2

Ôn tập chương Quan hệ vuông góc trong không gian — Toán lớp 11

Chương Quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình Toán lớp 11 thuộc mạch hình học và đo lường có 255 câu hỏi chia thành 14 dạng bài, mỗi câu kèm đáp án và lời giải chi tiết. Đây là bộ bài tập quan hệ vuông góc trong không gian đầy đủ để ôn luyện sau khi học xong chương trên lớp.

Các dạng bài trong chương: góc giữa hai đường thẳng trong không gian (25 câu), góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (26 câu), đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (12 câu), góc nhị diện và góc phẳng nhị diện (39 câu), khoảng cách giữa các đối tượng song song (12 câu), khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng (20 câu) và 8 dạng khác. Bấm vào tên dạng để nhảy thẳng tới nhóm câu hỏi của dạng ấy.

Độ khó rải đều bốn mức của ma trận đề: 39 câu nhận biết, 63 câu thông hiểu, 114 câu vận dụng và 39 câu vận dụng cao. Làm từ nhận biết lên vận dụng cao để biết mình hổng ở mức nào.

Đủ các dạng câu của đề thi tốt nghiệp THPT: 74 câu trắc nghiệm nhiều phương án, 34 câu đúng – sai, 72 câu trả lời ngắn và 75 câu tự luận. Quen tay cả bốn dạng câu thì vào phòng thi không mất thời gian làm quen cách hỏi.

Có thể làm trực tiếp trên trang, hoặc tải đề bài cả chương dưới dạng PDF miễn phí để in ra làm trên giấy; bản lời giải chi tiết cả chương tải riêng. Học xong chương nào nên luyện ngay chương ấy, rồi làm đề thi thử Toán lớp 11 để kiểm tra lại toàn bộ chương trình.