Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Ứng dụng biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố nhị thức trong thực tiễn 10 câu

Bài tập ứng dụng biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố nhị thức trong thực tiễn — Toán lớp 12: 10 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết

Câu 1. Một cuộc gọi tiếp thị được khách đồng ý với xác suất

0{,}1

ở mỗi cuộc. Xét

20

cuộc gọi một cách độc lập. Kì vọng của số cuộc gọi thành công bằng

2

1{,}8

0{,}1

18

Vận dụng

Câu 2. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên và đúng mỗi câu với xác suất

0{,}05

. Cần xét bao nhiêu câu để kì vọng của số câu đúng bằng

6

6

120

60

0{,}3

Thông hiểu

Câu 3. Một loại hạt giống nảy mầm với xác suất

0{,}2

ở mỗi hạt. Xét

40

hạt một cách độc lập. Phương sai của số hạt nảy mầm bằng

6{,}4

1{,}6

2{,}53

8

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 4. Một dây chuyền sản xuất cho ra sản phẩm lỗi với xác suất

0{,}45

ở mỗi sản phẩm. Xét

20

sản phẩm một cách độc lập.

a) Số sản phẩm lỗi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị nguyên từ

0

đến

20

b) Đại lượng ấy tuân theo phân bố đều.

c) Phương sai của số sản phẩm lỗi bằng

9

d) Độ lệch chuẩn của số sản phẩm lỗi xấp xỉ

4{,}95

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết

Câu 5. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên và đúng mỗi câu với xác suất

0{,}15

. Xét

80

câu một cách độc lập. Tính kì vọng của số câu đúng.

Thông hiểu

Câu 6. Một loại hạt giống nảy mầm với xác suất

0{,}3

ở mỗi hạt. Xét

20

hạt một cách độc lập. Tính phương sai của số hạt nảy mầm.

Vận dụng cao

Câu 7. Một quầy báo buổi sáng nhập tờ báo mỗi sáng. Nhu cầu trong ngày là một biến ngẫu nhiên

D

(đơn vị tờ) có phân phối:

Nhu cầu $D$	$30$	$40$	$50$	$60$
$P\left(D = d\right)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{5}{12}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{12}$

Mỗi tờ bán được thu

47

nghìn đồng; giá nhập

34

nghìn đồng mỗi tờ. Tờ báo ế cuối ngày được thu hồi

14

nghìn đồng mỗi tờ. Nếu thiếu hàng so với nhu cầu thì mỗi tờ thiếu bị phạt uy tín

3

nghìn đồng.
Bốn mức đặt hàng được cân nhắc:

33

37

38

40

tờ. Hiện tại quầy đang đặt

33

tờ.
Quy định về rủi ro: độ lệch chuẩn của lợi nhuận không được vượt

107

nghìn đồng.
Hỏi chuyển sang mức đặt hàng tốt nhất thì lợi nhuận kì vọng tăng bao nhiêu nghìn đồng so với mức hiện tại?

Tự luận 3 câu

Thông hiểu

Câu 8. Một cuộc gọi tiếp thị được khách đồng ý với xác suất

0{,}15

ở mỗi cuộc. Xét

70

cuộc gọi một cách độc lập. Tính phương sai của số cuộc gọi thành công (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng cao

Câu 9. Một quầy báo buổi sáng nhập tờ báo mỗi sáng. Nhu cầu trong ngày là một biến ngẫu nhiên

D

(đơn vị tờ) có phân phối:

Nhu cầu $D$	$40$	$50$	$60$	$70$
$P\left(D = d\right)$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{2}{9}$	$\dfrac{1}{9}$

Mỗi tờ bán được thu

47

nghìn đồng; giá nhập

21

nghìn đồng mỗi tờ. Tờ báo ế cuối ngày được thu hồi

5

nghìn đồng mỗi tờ. Nếu thiếu hàng so với nhu cầu thì mỗi tờ thiếu bị phạt uy tín

23

nghìn đồng.
Bốn mức đặt hàng được cân nhắc:

47

51

53

56

tờ. Hiện tại quầy đang đặt

47

tờ.
Quy định về rủi ro: độ lệch chuẩn của lợi nhuận không được vượt

189

nghìn đồng.
Lập bảng phân phối lợi nhuận cho từng mức đặt hàng, tính kì vọng và độ lệch chuẩn, rồi chọn mức tốt nhất và cho biết kì vọng tăng bao nhiêu so với mức hiện tại.

Nhận biết

Câu 10. Một dây chuyền sản xuất cho ra sản phẩm lỗi với xác suất

0{,}3

ở mỗi sản phẩm. Xét

50

sản phẩm một cách độc lập. Tính kì vọng của số sản phẩm lỗi.

Phép thử lặp và công thức Bernoulli 13 câu

Bài tập phép thử lặp và công thức bernoulli — Toán lớp 12: 13 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Nhận biết

Câu 11. Thực hiện

3

phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công

p

ở mỗi phép thử. Xác suất có đúng

2

lần thành công được tính bởi

p^{2} (1 - p)^{1}

C_{3}^{2} p^{2} (1 - p)^{1}

C_{3}^{2} p^{1} (1 - p)^{2}

C_{3}^{2} p^{2}

Thông hiểu

Câu 12. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên 3 câu trắc nghiệm độc lập. Xác suất mỗi câu trả lời đúng bằng

\dfrac{2}{3}

. Xác suất có đúng

1

câu trả lời đúng bằng

\dfrac{1}{27}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{2}{27}

\dfrac{2}{9}

Vận dụng

Câu 13. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên 6 câu trắc nghiệm độc lập. Xác suất mỗi câu trả lời đúng bằng

\dfrac{2}{3}

. Xác suất có ít nhất

1

câu trả lời đúng bằng

\dfrac{728}{729}

\dfrac{1}{729}

\dfrac{4}{243}

\dfrac{716}{729}

Vận dụng

Câu 14. Các phép thử độc lập, mỗi lần thành công với xác suất

\dfrac{1}{3}

. Cần xác suất có ít nhất một thành công không nhỏ hơn

\dfrac{9}{10}

. Cần ít nhất bao nhiêu phép thử?

7

5

6

12

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 15. Một máy sản xuất 5 sản phẩm một cách độc lập. Xác suất mỗi sản phẩm đạt chuẩn bằng

\dfrac{3}{4}

a) Các phép thử làm xác suất thành công giảm dần qua các lần.

b) Hai biến cố “không lần nào thành công” và “có ít nhất một lần thành công” có thể cùng xảy ra.

c) Xác suất không lần nào thành công bằng

\dfrac{1}{1024}

d) Xác suất có đúng

1

lần thành công bằng

\dfrac{1}{1024}

Trả lời ngắn 4 câu

Thông hiểu

Câu 16. Một máy sản xuất 4 sản phẩm một cách độc lập. Xác suất mỗi sản phẩm đạt chuẩn bằng

\dfrac{2}{3}

. Tính xác suất có đúng

1

sản phẩm đạt chuẩn (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 17. Các phép thử độc lập có cùng xác suất thành công

p

chưa biết,

0<p<1

. Xác suất không có lần thành công nào trong

2

phép thử là

\dfrac{1}{25}

. Tính xác suất có đúng

1

lần thành công trong

2

phép thử tiếp theo, viết theo phần trăm và làm tròn đến một chữ số thập phân.

Vận dụng

Câu 18. Một xạ thủ bắn 4 viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất mỗi viên trúng bia bằng

\dfrac{1}{2}

. Tính xác suất có ít nhất một viên trúng bia (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 19. Các phép thử độc lập, mỗi lần thành công với xác suất

\dfrac{2}{3}

. Cần xác suất có ít nhất một thành công không nhỏ hơn

\dfrac{7}{10}

. Cần ít nhất bao nhiêu phép thử?

Tự luận 4 câu

Thông hiểu

Câu 20. Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất mỗi viên trúng bia bằng

\dfrac{1}{3}

. Tính xác suất có đúng

2

viên trúng bia (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 21. Các phép thử độc lập có cùng xác suất thành công

p

chưa biết,

0<p<1

. Xác suất không có lần thành công nào trong

4

phép thử là

\dfrac{1}{81}

. Suy ra

p

, rồi tính xác suất có đúng

1

lần thành công trong

4

phép thử tiếp theo, giữ kết quả dưới dạng phân số.

Vận dụng

Câu 22. Các phép thử độc lập, mỗi lần thành công với xác suất

\dfrac{1}{2}

. Cần xác suất có ít nhất một thành công không nhỏ hơn

\dfrac{5}{6}

. Tìm số lần ít nhất. Chứng minh số liền trước chưa đạt bằng so sánh phân số chính xác.

Vận dụng

Câu 23. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm độc lập. Xác suất mỗi câu trả lời đúng bằng

\dfrac{2}{3}

. Tính xác suất có ít nhất một câu trả lời đúng (làm tròn đến hàng phần trăm).

Phân bố nhị thức 14 câu

Bài tập phân bố nhị thức — Toán lớp 12: 14 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Nhận biết

Câu 24. Cho

X \sim B\left(8; 0{,}6\right)

. Kì vọng

E(X)

bằng

0{,}6

3{,}2

1{,}92

4{,}8

Thông hiểu

Câu 25. Cho

X \sim B\left(5; 0{,}7\right)

. Giá trị

P(X = 4)

bằng

\dfrac{3087}{10000}

\dfrac{7203}{20000}

\dfrac{2401}{2000}

\dfrac{7203}{100000}

Vận dụng

Câu 26. Cho

X \sim B\left(4; 0{,}3\right)

. Giá trị

P(X \geq 1)

bằng

0{,}3

\dfrac{7599}{10000}

\dfrac{2401}{10000}

\dfrac{1029}{2500}

Vận dụng cao

Câu 27. Một xưởng đúc chi tiết nghiệm thu lô hàng bằng cách lấy mẫu: kiểm

n

chi tiết lấy ngẫu nhiên và chấp nhận lô hàng nếu số chi tiết lỗi trong mẫu không vượt

c

. Coi các chi tiết được kiểm là độc lập và cùng có xác suất lỗi

p

, nên số chi tiết lỗi trong mẫu tuân theo phân phối nhị thức

B\left(n; p\right)

.
Hai chuẩn rủi ro phải đạt đồng thời:

\left(1\right)

nếu lô hàng tốt, tức

p = 2\%

, thì xác suất chấp nhận phải ít nhất

88\%

;

\left(2\right)

nếu lô hàng xấu, tức

p = 17\%

, thì xác suất chấp nhận phải nhiều nhất

14\%

.
Để cộng tổng tích luỹ nhanh, có thể dùng truy hồi

p_0 = \left(1 - p\right)^n

và

p_{k+1} = p_k \cdot \dfrac{n - k}{k + 1} \cdot \dfrac{p}{1 - p}

, rồi lấy

A = p_0 + p_1 + \cdots + p_c

.
Bốn kế hoạch được chào:

Kế hoạch	$n$	$c$	Chi phí cố định (nghìn đồng)	Chi phí mỗi mẫu (nghìn đồng)
$A$	$23$	$1$	$60$	$7$
$B$	$22$	$1$	$70$	$3$
$C$	$10$	$4$	$50$	$3$
$D$	$15$	$0$	$100$	$5$

Trong các kế hoạch đạt cả hai chuẩn, chọn kế hoạch có tổng chi phí nhỏ nhất (tổng chi phí bằng chi phí cố định cộng chi phí mỗi mẫu nhân cỡ mẫu); nếu hoà thì chọn cỡ mẫu nhỏ hơn.
Nên chọn kế hoạch nào?

A kiểm

n = 22

, chấp nhận khi số lỗi

\le 1

; chi phí cố định

70

và

3

mỗi mẫu (nghìn đồng)

B kiểm

n = 23

, chấp nhận khi số lỗi

\le 1

; chi phí cố định

60

và

7

mỗi mẫu (nghìn đồng)

C kiểm

n = 15

, chấp nhận khi số lỗi

\le 0

; chi phí cố định

100

và

5

mỗi mẫu (nghìn đồng)

D kiểm

n = 10

, chấp nhận khi số lỗi

\le 4

; chi phí cố định

50

và

3

mỗi mẫu (nghìn đồng)

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu

Câu 28. Cho

X \sim B\left(5; 0{,}2\right)

X

nhận các giá trị nguyên từ

0

đến

5

V(X) = 1

\sigma(X) \approx 0{,}8

P(X = 3) = \dfrac{1024}{3125}

Vận dụng

Câu 29. Thực hiện

2

phép thử độc lập, mỗi phép có xác suất thành công

\dfrac{2}{5}

. X là số lần thành công; biết biến cố

E=\{X\ge1\}

đã xảy ra.

P(X=0)=\dfrac{16}{25}

P(E)=\dfrac{9}{25}

P(X=2\mid E)=\dfrac{4}{25}

E(X\mid E)=\dfrac{5}{4}

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết

Câu 30. Cho

X \sim B\left(4; 0{,}7\right)

. Tính

E(X)

Thông hiểu

Câu 31. Cho

X \sim B\left(8; 0{,}5\right)

. Tính

V(X)

Vận dụng

Câu 32. Cho

X \sim B\left(7; 0{,}2\right)

. Tính

P(X = 4)

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Tự luận 5 câu

Nhận biết

Câu 33. Cho

X \sim B\left(8; 0{,}5\right)

. Tính

E(X)

Thông hiểu

Câu 34. Cho

X \sim B\left(4; 0{,}5\right)

. Tính

V(X)

Vận dụng

Câu 35. Thực hiện

2

phép thử độc lập, mỗi phép có xác suất thành công

\dfrac{7}{10}

. X là số lần thành công; biết biến cố

E=\{X\ge1\}

đã xảy ra.

Vận dụng cao

Câu 36. Một cơ sở may công nghiệp nghiệm thu lô áo bằng cách lấy mẫu: kiểm

n

áo lấy ngẫu nhiên và chấp nhận lô áo nếu số áo lỗi trong mẫu không vượt

c

. Coi các áo được kiểm là độc lập và cùng có xác suất lỗi

p

, nên số áo lỗi trong mẫu tuân theo phân phối nhị thức

B\left(n; p\right)

.
Hai chuẩn rủi ro phải đạt đồng thời:

\left(1\right)

nếu lô áo tốt, tức

p = 2\%

, thì xác suất chấp nhận phải ít nhất

87\%

;

\left(2\right)

nếu lô áo xấu, tức

p = 16\%

, thì xác suất chấp nhận phải nhiều nhất

14\%

.
Để cộng tổng tích luỹ nhanh, có thể dùng truy hồi

p_0 = \left(1 - p\right)^n

và

p_{k+1} = p_k \cdot \dfrac{n - k}{k + 1} \cdot \dfrac{p}{1 - p}

, rồi lấy

A = p_0 + p_1 + \cdots + p_c

.
Bốn kế hoạch được chào:

Kế hoạch	$n$	$c$	Chi phí cố định (nghìn đồng)	Chi phí mỗi mẫu (nghìn đồng)
$A$	$23$	$1$	$100$	$8$
$B$	$21$	$1$	$110$	$4$
$C$	$20$	$2$	$100$	$2$
$D$	$21$	$0$	$50$	$6$

Trong các kế hoạch đạt cả hai chuẩn, chọn kế hoạch có tổng chi phí nhỏ nhất (tổng chi phí bằng chi phí cố định cộng chi phí mỗi mẫu nhân cỡ mẫu); nếu hoà thì chọn cỡ mẫu nhỏ hơn.
Tính xác suất chấp nhận của từng kế hoạch ở cả hai mức tỉ lệ lỗi, lọc theo hai chuẩn rồi chỉ ra kế hoạch nên chọn.

Vận dụng

Câu 37. Cho

X \sim B\left(10; 0{,}5\right)

. Tính

P(X = 1)

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc 9 câu

Bài tập khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc — Toán lớp 12: 9 câu từ nhận biết đến thông hiểu, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Nhận biết

Câu 38. Gieo một đồng xu cân đối

12

lần. Gọi

X

là số lần xuất hiện mặt sấp. Tập giá trị của

X

là

\left\{0; 1\right\}

\left\{0; 1; 2; \ldots; 11\right\}

\left\{0; 1; 2; \ldots; 12\right\}

\left\{1; 2; \ldots; 12\right\}

Thông hiểu

Câu 39. Bảng sau là bảng phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc

X

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}4$	$k$	$0{,}3$

Giá trị của

k

bằng

0{,}3

0{,}15

1{,}3

0{,}7

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 40. Gieo một đồng xu cân đối

2

lần. Gọi

X

là số lần xuất hiện mặt sấp.

X

là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

b) Giá trị lớn nhất mà

X

nhận được là

3

c) Mỗi giá trị của

X

đi kèm một xác suất nằm trong khoảng

(1; +\infty)

d) Số lần xuất hiện mặt ngửa cũng là một biến ngẫu nhiên rời rạc, và bằng

2 + X

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết

Câu 41. Gieo một đồng xu cân đối

4

lần. Gọi

X

là số lần xuất hiện mặt sấp. Hỏi

X

nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

Thông hiểu

Câu 42. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}5$	$0{,}2$	$0{,}3$

Tính

P(X \geq 1)

Thông hiểu

Câu 43. Gieo hai xúc xắc cân đối có

6

mặt đánh số

1;2;\ldots;6

. X là trị tuyệt đối hiệu hai số xuất hiện. Tính tổng các giá trị khác nhau X có thể nhận, không tính theo xác suất.

Tự luận 3 câu

Nhận biết

Câu 44. Gieo một đồng xu cân đối

8

lần. Gọi

X

là số lần xuất hiện mặt sấp. Hỏi

X

nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

Thông hiểu

Câu 45. Gieo hai xúc xắc cân đối có

11

mặt đánh số

1;2;\ldots;11

. X là trị tuyệt đối hiệu hai số xuất hiện. Tính tổng các giá trị khác nhau X có thể nhận, không tính theo xác suất.

Thông hiểu

Câu 46. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}3$	$0{,}1$	$0{,}6$

Tính

P(X \geq 1)

Bảng phân bố xác suất 9 câu

Bài tập bảng phân bố xác suất — Toán lớp 12: 9 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Nhận biết

Câu 47. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}06$	$0{,}14$	$0{,}08$	$0{,}72$

Giá trị

P(X = 2)

bằng

0{,}92

0{,}08

0{,}72

2

Thông hiểu

Câu 48. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}2$	$0{,}04$	$0{,}28$	$0{,}48$

Giá trị

P(X \geq 1)

bằng

0{,}04

0{,}2

0{,}8

0{,}76

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 49. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}12$	$0{,}06$	$0{,}08$	$0{,}74$

X

nhận năm giá trị khác nhau.

b) Giá trị 3 là giá trị mà

X

nhận với xác suất nhỏ nhất.

P(X \geq 2) = 0{,}82

P(X \leq 2) = 0{,}26

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết

Câu 50. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}3$	$0{,}06$	$k$	$0{,}58$

Tính giá trị của

k

Thông hiểu

Câu 51. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}16$	$0{,}28$	$0{,}32$	$0{,}24$

Tính

P(X \geq 3)

Vận dụng

Câu 52. X nhận các giá trị

-2;0;2

với xác suất tương ứng

a,\dfrac{5}{8},b

. Biết

E(X)=\dfrac{1}{4}

. Tính

P(X\le0)

dưới dạng số thập phân, làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Tự luận 3 câu

Nhận biết

Câu 53. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}24$	$0{,}32$	$k$	$0{,}34$

Tính giá trị của

k

Thông hiểu

Câu 54. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0{,}2$	$0{,}22$	$0{,}18$	$0{,}4$

Tính

P(X \geq 2)

Vận dụng

Câu 55. X nhận

-2;0;7

với xác suất

a,\dfrac{5}{8},b

;

E(X)=\dfrac{3}{2}

. Tìm a,b và tính chính xác

P(X\le0)

Kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc 10 câu

Bài tập kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc — Toán lớp 12: 10 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Thông hiểu

Câu 56. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$3$	$4$	$10$
$P$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}4$

Kì vọng

E(X)

bằng

6{,}2

4{,}8

5{,}67

17

Vận dụng

Câu 57. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$1$	$2$	$8$
$P$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}6$

Giá trị

E\left(X^2\right)

bằng

30{,}25

5{,}5

39{,}7

9{,}45

Nhận biết

Câu 58. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$3$	$5$	$9$
$P$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}8$

Công thức tính kì vọng của

X

là

E(X) = p_1 + p_2 + p_3

E(X) = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}

E(X) = x_1 x_2 x_3

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu

Câu 59. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$1$	$4$	$7$
$P$	$0{,}1$	$0{,}4$	$0{,}5$

a) Tổng các xác suất trong bảng bằng

1

P(X = 1) = 0{,}4

E(X) = 4

E\left(X^2\right) = 27{,}04

Vận dụng cao

Câu 60. Một gói bảo hành thiết bị có hai khoản chi trả trong một kì. Khoản thứ nhất là chi phí thay bo mạch: bằng

4

triệu đồng nếu xảy ra, bằng

0

nếu không, và xác suất xảy ra là

p = 0{,}27

. Khoản thứ hai là chi phí thay nguồn: bằng

3

triệu đồng nếu xảy ra, bằng

0

nếu không, xác suất

q = 0{,}72

.
Gọi

X

Y

lần lượt là số tiền của hai khoản ấy. Không biết hai biến cố phụ thuộc nhau thế nào; chỉ biết xác suất cả hai cùng xảy ra là

r = P\left(X = 4, Y = 3\right)

, và một đợt kiểm toán chứng nhận

0{,}21 \le r \le 0{,}27

.
Quỹ thu một khoản phí

5{,}1

triệu đồng cho mỗi kì.
Xét các khẳng định sau.

a) Kì vọng tổng chi trả

E\left[X + Y\right]

xác định được dù chưa biết

r

, và bằng

3{,}24

triệu đồng.

b) Kì vọng

E\left[\max\left(X; Y\right)\right]

xác định được duy nhất từ dữ kiện đã cho.

c) Dữ kiện đã cho loại trừ khả năng

X

và

Y

độc lập.

d) Với mức phí

5{,}1

triệu đồng, quỹ có kì vọng chi trả cho khoản lớn hơn thấp hơn phí dù

r

nhận giá trị nào trong

R

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu

Câu 61. Một khảo sát ghi lại số lần truy cập 1, 4, 8 với xác suất lần lượt

0{,}1; 0{,}3; 0{,}6

. Tính số lần trung bình theo kì vọng.

Vận dụng

Câu 62. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$2$	$5$	$6$
$P$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}5$

Đặt

Y = 4X + 5

. Tính

E(Y)

Tự luận 3 câu

Thông hiểu

Câu 63. Một máy bán hàng trả về số phần quà 1, 3, 7 với xác suất lần lượt

0{,}2; 0{,}3; 0{,}5

. Tính số phần quà trung bình theo kì vọng.

Vận dụng

Câu 64. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$2$	$5$	$8$
$P$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}7$

Đặt

Y = 3X + 3

. Tính

E(Y)

Vận dụng cao

Câu 65. Một gói bảo hành thiết bị có hai khoản chi trả trong một kì. Khoản thứ nhất là chi phí thay bo mạch: bằng

16

triệu đồng nếu xảy ra, bằng

0

nếu không, và xác suất xảy ra là

p = 0{,}33

. Khoản thứ hai là chi phí thay nguồn: bằng

8

triệu đồng nếu xảy ra, bằng

0

nếu không, xác suất

q = 0{,}31

.
Gọi

X

Y

lần lượt là số tiền của hai khoản ấy. Không biết hai biến cố phụ thuộc nhau thế nào; chỉ biết xác suất cả hai cùng xảy ra là

r = P\left(X = 16, Y = 8\right)

, và một đợt kiểm toán chứng nhận

0{,}02 \le r \le 0{,}27

.
Quỹ thu một khoản phí

7{,}5

triệu đồng cho mỗi kì.
Viết bảng phân phối đồng thời theo một ẩn, xác định đoạn giá trị của ẩn ấy, rồi trả lời từng câu hỏi dưới đây kèm phép tính.

Ý nghĩa thực tiễn của các số đặc trưng 10 câu

Bài tập ý nghĩa thực tiễn của các số đặc trưng — Toán lớp 12: 10 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Nhận biết

Câu 66. Một vé số trả

40

nghìn đồng khi trúng với xác suất

0{,}4

, và trả

0

nghìn đồng trong trường hợp còn lại. Kì vọng số tiền nhận được, đơn vị nghìn đồng, bằng

0{,}4

24

40

16

Thông hiểu

Câu 67. Một trò chơi cho lãi ròng

55

nghìn đồng khi thắng với xác suất

0{,}5

, và lỗ

5

nghìn đồng nếu không thắng. Kì vọng lãi ròng, đơn vị nghìn đồng, bằng

30

25

27{,}5

50

Vận dụng

Câu 68. Thời gian hoàn thành tính bằng giờ. A mất

8

hoặc

24

giờ với xác suất mỗi giá trị

1/2

. B mất

4

giờ với xác suất

2/3

, hoặc

40

giờ với xác suất

1/3

. Lựa chọn nào đúng khi lần lượt ưu tiên ổn định rồi ưu tiên hoàn thành không quá

8

giờ?

A Chọn B cho cả hai tiêu chí.

B Chọn A cho cả hai tiêu chí.

C Hai dịch vụ tương đương ở cả hai tiêu chí.

D Chọn A cho ổn định; chọn B cho khả năng hoàn thành đúng ngưỡng.

Vận dụng

Câu 69. Một trò chơi thắng với xác suất

0{,}4

, và lỗ

5

nghìn đồng nếu không thắng. Tiền thưởng khi thắng phải bằng bao nhiêu nghìn đồng để kì vọng lãi ròng bằng

0

3

5

7{,}5

3{,}33

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 70. Một trò chơi cho lãi ròng

25

nghìn đồng khi thắng với xác suất

0{,}3

, và lỗ

7

nghìn đồng nếu không thắng.

a) Lãi ròng là biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị

25

và

-7

b) Kì vọng lãi ròng bằng

0

thì trò chơi được gọi là có lợi cho nhà cái.

c) Trò chơi bất lợi cho người chơi về lâu dài.

d) Chơi

10

lượt thì lãi ròng trung bình bằng

26

nghìn đồng.

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu

Câu 71. Một vé số cho lãi ròng

30

nghìn đồng khi trúng với xác suất

0{,}3

, và lỗ

6

nghìn đồng nếu không trúng. Tính kì vọng lãi ròng, đơn vị nghìn đồng.

Nhận biết

Câu 72. Một lượt quay thưởng trả

25

nghìn đồng khi trúng thưởng với xác suất

0{,}5

, và trả

0

nghìn đồng trong trường hợp còn lại. Tính kì vọng số tiền nhận được, đơn vị nghìn đồng.

Tự luận 3 câu

Nhận biết

Câu 73. Một lượt quay thưởng trả

20

nghìn đồng khi trúng thưởng với xác suất

0{,}5

, và trả

0

nghìn đồng trong trường hợp còn lại. Tính kì vọng số tiền nhận được, đơn vị nghìn đồng.

Thông hiểu

Câu 74. Một lượt quay thưởng cho lãi ròng

10

nghìn đồng khi trúng thưởng với xác suất

0{,}5

, và lỗ

6

nghìn đồng nếu không trúng thưởng. Tính kì vọng lãi ròng, đơn vị nghìn đồng.

Vận dụng

Câu 75. Thời gian hoàn thành tính bằng giờ. A mất

10

hoặc

22

giờ với xác suất mỗi giá trị

1/2

. B mất

7

giờ với xác suất

2/3

, hoặc

34

giờ với xác suất

1/3

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 10 câu

Bài tập phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc — Toán lớp 12: 10 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Nhận biết

Câu 76. Cho một khay có 3 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai sản phẩm. Gọi

X

là số sản phẩm tốt lấy được. Tập giá trị của

X

là

\left\{1; 2\right\}

\left\{0; 1\right\}

\left\{0; 1; 2\right\}

\left\{0; 1; \ldots; 3\right\}

Thông hiểu

Câu 77. Cho một hộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi. Gọi

X

là số viên bi đỏ lấy được. Giá trị

P(X = 2)

bằng

\dfrac{-1}{7}

\dfrac{6}{49}

\dfrac{1}{7}

\dfrac{2}{7}

Vận dụng

Câu 78. Tung một đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng

\dfrac{2}{3}

4

lần độc lập. Gọi

X

là độ dài lớn nhất của một chuỗi các lần xuất hiện mặt ngửa liên tiếp; nếu không có mặt ngửa thì

X=0

. Tính

P(X\ge3)

\dfrac{32}{81}

\dfrac{16}{27}

\dfrac{19}{27}

\dfrac{8}{27}

Vận dụng

Câu 79. Cho một giỏ có 3 quả cam và 4 quả quýt. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Gọi

X

là số quả cam lấy được. Kì vọng

E(X)

bằng

\dfrac{8}{7}

\dfrac{3}{7}

\dfrac{6}{7}

\dfrac{4}{7}

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 80. Cho một tổ có 6 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai học sinh. Gọi

X

là số học sinh nữ lấy được.

a) Số cách lấy hai vật từ hộp bằng

55

P(X = 2) = \dfrac{3}{11}

P(X \geq 1) = \dfrac{9}{11}

E(X) = \dfrac{10}{11}

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu

Câu 81. Cho một giỏ có 3 quả cam và 2 quả quýt. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Gọi

X

là số quả cam lấy được. Tính

P(X = 1)

Vận dụng

Câu 82. Cho một tổ có 3 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai học sinh. Gọi

X

là số học sinh nữ lấy được. Tính kì vọng

E(X)

Vận dụng

Câu 83. Tung một đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng

\dfrac{2}{3}

7

lần độc lập. Gọi

X

là độ dài lớn nhất của một chuỗi các lần xuất hiện mặt ngửa liên tiếp; nếu không có mặt ngửa thì

X=0

. Tính xác suất

P(X\ge3)

, theo phần trăm (làm tròn đến hàng phần mười).

Tự luận 2 câu

Thông hiểu

Câu 84. Cho một hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi. Gọi

X

là số viên bi đỏ lấy được. Tính

P(X = 1)

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 85. Tung một đồng xu có xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng

\dfrac{2}{3}

9

lần độc lập. Gọi

X

là độ dài lớn nhất của một chuỗi các lần xuất hiện mặt ngửa liên tiếp; nếu không có mặt ngửa thì

X=0

. Tính chính xác

P(X\ge2)

và giải thích cách đếm các chuỗi liên tiếp.

Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc 10 câu

Bài tập phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc — Toán lớp 12: 10 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết

Câu 86. Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc

X

là

V(X) = E\left(X^2\right) - \left[E(X)\right]^2

V(X) = E\left(X^2\right) - E(X)

V(X) = \left[E(X)\right]^2 - E\left(X^2\right)

V(X) = \sqrt{E\left(X^2\right) - \left[E(X)\right]^2}

Thông hiểu

Câu 87. Biến ngẫu nhiên

X

có

E(X) = 7

và

E\left(X^2\right) = 53

. Phương sai

V(X)

bằng

46

-4

4

102

Vận dụng

Câu 88. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$1$	$2$	$6$
$P$	$0{,}3$	$0{,}1$	$0{,}6$

Phương sai

V(X)

bằng

22{,}3

16{,}81

4{,}1

5{,}49

Câu đúng / sai 2 câu

Vận dụng

Câu 89. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$-2$	$-1$	$1$
$P$	$0{,}4$	$0{,}2$	$0{,}4$

a) Phương sai của một biến ngẫu nhiên có thể nhận giá trị âm.

E(X) = -0{,}6

E\left(X^2\right) = 2{,}2

V(X) = 2{,}2

Vận dụng

Câu 90. Tung hai đồng xu cân đối, độc lập. Tiền thưởng

X

(nghìn đồng) bằng

9

nếu cả hai đều ngửa, bằng

3

nếu đúng một đồng ngửa, bằng

0

nếu cả hai đều sấp. Đặt

Y=3X - 4

P(X=0)=\dfrac{1}{2},\quad P(X=3)=\dfrac{1}{4},\quad P(X=9)=\dfrac{1}{4}

E(X)=\dfrac{15}{4}

V(X)=\dfrac{171}{16}

E(Y)=\dfrac{29}{4},\ V(Y)=\dfrac{513}{16}

Trả lời ngắn 2 câu

Vận dụng

Câu 91. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$-1$	$0$	$3$
$P$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}8$

Tính phương sai

V(X)

Thông hiểu

Câu 92. Biến ngẫu nhiên

X

có

E(X) = 4

và

E\left(X^2\right) = 25

. Tính

V(X)

Tự luận 3 câu

Vận dụng

Câu 93. Tung hai đồng xu cân đối, độc lập. Tiền thưởng

X

(nghìn đồng) bằng

3

nếu cả hai đều ngửa, bằng

2

nếu đúng một đồng ngửa, bằng

0

nếu cả hai đều sấp. Đặt

Y=3X + 2

Vận dụng

Câu 94. Biến ngẫu nhiên rời rạc

X

có bảng phân bố xác suất

$X$	$0$	$1$	$5$
$P$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}7$

Tính phương sai

V(X)

Thông hiểu

Câu 95. Biến ngẫu nhiên

X

có

E(X) = 4

và

E\left(X^2\right) = 27

. Tính

V(X)

Ôn tập chương Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng — Toán lớp 12

Chương Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng trong chương trình Toán lớp 12 thuộc mạch chuyên đề học tập lựa chọn có 95 câu hỏi chia thành 9 dạng bài, mỗi câu kèm đáp án và lời giải chi tiết. Đây là bộ bài tập biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng đầy đủ để ôn luyện sau khi học xong chương trên lớp.

Các dạng bài trong chương: ứng dụng biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố nhị thức trong thực tiễn (10 câu), phép thử lặp và công thức bernoulli (13 câu), phân bố nhị thức (14 câu), khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc (9 câu), bảng phân bố xác suất (9 câu), kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc (10 câu) và 3 dạng khác. Bấm vào tên dạng để nhảy thẳng tới nhóm câu hỏi của dạng ấy.

Độ khó rải đều bốn mức của ma trận đề: 19 câu nhận biết, 37 câu thông hiểu, 33 câu vận dụng và 6 câu vận dụng cao. Làm từ nhận biết lên vận dụng cao để biết mình hổng ở mức nào.

Đủ các dạng câu của đề thi tốt nghiệp THPT: 29 câu trắc nghiệm nhiều phương án, 12 câu đúng – sai, 25 câu trả lời ngắn và 29 câu tự luận. Quen tay cả bốn dạng câu thì vào phòng thi không mất thời gian làm quen cách hỏi.

Có thể làm trực tiếp trên trang, hoặc tải đề bài cả chương dưới dạng PDF miễn phí để in ra làm trên giấy; bản lời giải chi tiết cả chương tải riêng. Học xong chương nào nên luyện ngay chương ấy, rồi làm đề thi thử Toán lớp 12 để kiểm tra lại toàn bộ chương trình.

Đọc tiếpThu gọn

Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng — ôn luyện Toán lớp 12

Ứng dụng biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố nhị thức trong thực tiễn 10 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Câu đúng / sai 1 câu

Trả lời ngắn 3 câu

Tự luận 3 câu

Phép thử lặp và công thức Bernoulli 13 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Câu đúng / sai 1 câu

Trả lời ngắn 4 câu

Tự luận 4 câu

Phân bố nhị thức 14 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Câu đúng / sai 2 câu

Trả lời ngắn 3 câu

Tự luận 5 câu

Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc 9 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Câu đúng / sai 1 câu

Trả lời ngắn 3 câu

Tự luận 3 câu

Bảng phân bố xác suất 9 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Câu đúng / sai 1 câu

Trả lời ngắn 3 câu

Tự luận 3 câu

Kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc 10 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Câu đúng / sai 2 câu

Trả lời ngắn 2 câu

Tự luận 3 câu

Ý nghĩa thực tiễn của các số đặc trưng 10 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Câu đúng / sai 1 câu

Trả lời ngắn 2 câu

Tự luận 3 câu

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 10 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Câu đúng / sai 1 câu

Trả lời ngắn 3 câu

Tự luận 2 câu

Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc 10 câu

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Câu đúng / sai 2 câu

Trả lời ngắn 2 câu

Tự luận 3 câu

Ôn tập chương Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng — Toán lớp 12