Xác suất có điều kiện — ôn luyện Toán lớp 12

Ứng dụng xác suất có điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes trong thực tiễn 9 câu

Bài tập ứng dụng xác suất có điều kiện, xác suất toàn phần và công thức bayes trong thực tiễn — Toán lớp 12: 9 câu từ thông hiểu đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Thông hiểu

Câu 1. Trong một quần thể, tỉ lệ có sự cố là

0{,}11

. Một cảm biến cho kết quả phát cảnh báo với xác suất

0{,}94

khi đối tượng thật sự có sự cố, và với xác suất

0{,}11

khi đối tượng không có sự cố. Chọn ngẫu nhiên một đối tượng, xác suất phát cảnh báo bằng

0{,}1034

0{,}2013

0{,}94

0{,}11

Vận dụng

Câu 2. Trong một quần thể, tỉ lệ mắc bệnh là

0{,}07

. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất

0{,}98

khi đối tượng thật sự mắc bệnh, và với xác suất

0{,}04

khi đối tượng không mắc bệnh. Biết một đối tượng có kết quả dương tính, xác suất đối tượng đó thực ra không mắc bệnh bằng (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).

0{,}3516

0{,}6484

0{,}04

0{,}93

Câu đúng / sai 1 câu

Vận dụng

Câu 3. Trong một quần thể, tỉ lệ mắc bệnh là

0{,}06

. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất

0{,}9

khi đối tượng thật sự mắc bệnh, và với xác suất

0{,}11

khi đối tượng không mắc bệnh.

a) Tổng xác suất hai nhánh mắc bệnh và không mắc bệnh bằng

1

b) Biết dương tính, xác suất thật sự mắc bệnh bằng

0{,}3431

c) Giá trị dự đoán dương bằng đúng độ nhạy của xét nghiệm.

d) Xác suất dương tính lớn hơn tỉ lệ mắc bệnh trong quần thể.

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu

Câu 4. Trong một quần thể, tỉ lệ có lỗi là

0{,}02

. Một máy kiểm tra cho kết quả báo lỗi với xác suất

0{,}84

khi đối tượng thật sự có lỗi, và với xác suất

0{,}03

khi đối tượng không có lỗi. Tính xác suất một đối tượng bất kì cho kết quả báo lỗi (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 5. Trong một quần thể, tỉ lệ mắc bệnh là

0{,}09

. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất

0{,}97

khi đối tượng thật sự mắc bệnh, và với xác suất

0{,}04

khi đối tượng không mắc bệnh. Biết kết quả dương tính, tính xác suất đối tượng thật sự mắc bệnh (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng cao

Câu 6. Một tuyến băng tải than có nguy cơ cháy âm ỉ. Theo thống kê dài hạn, xác suất trong một ca vận hành xảy ra cháy âm ỉ là

31\%

.
Hệ có hai cảm biến, mỗi cảm biến cho kết quả “báo có” hoặc “báo không”:

Cảm biến	Báo có khi có sự cố	Báo có khi không có sự cố	Chi phí đo (triệu đồng)
$1$ — đầu dò khói	$93\%$	$9\%$	$1$
$2$ — đo nhiệt hồng ngoại	$94\%$	$29\%$	$2$

Khi đã biết ca ấy có cháy âm ỉ hay không thì hai cảm biến cho kết quả độc lập với nhau (độc lập có điều kiện).
Cảm biến

1

luôn được đo. Cảm biến

2

chỉ được kích hoạt trên một nhánh kết quả của cảm biến

1

, và có hai chính sách:
Chính sách $A$ : chỉ đo cảm biến

2

khi cảm biến

1

báo có;
Chính sách $B$ : chỉ đo cảm biến

2

khi cảm biến

1

báo không.
Sau khi có đủ kết quả, hệ phát lệnh xử lí nếu xác suất có cháy âm ỉ tính theo các kết quả đã đo đạt ít nhất

\tau = 31\%

.
Chi phí: báo giả (phát lệnh mà không có cháy âm ỉ) tốn

17

triệu đồng; bỏ sót (có cháy âm ỉ mà không phát lệnh) tốn

84

triệu đồng.
Đặt

D = EC_A - EC_B

là hiệu chi phí kì vọng của hai chính sách.
Tính

D

(theo triệu đồng) (trả lời kèm dấu).

Tự luận 3 câu

Thông hiểu

Câu 7. Trong một quần thể, tỉ lệ mắc bệnh là

0{,}07

. Một xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất

0{,}81

khi đối tượng thật sự mắc bệnh, và với xác suất

0{,}04

khi đối tượng không mắc bệnh. Tính xác suất một đối tượng bất kì cho kết quả dương tính (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 8. Trong một quần thể, tỉ lệ có sự cố là

0{,}13

. Một cảm biến cho kết quả phát cảnh báo với xác suất

0{,}81

khi đối tượng thật sự có sự cố, và với xác suất

0{,}07

khi đối tượng không có sự cố. Biết kết quả phát cảnh báo, tính xác suất đối tượng thật sự có sự cố (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng cao

Câu 9. Một tuyến băng tải than có nguy cơ cháy âm ỉ. Theo thống kê dài hạn, xác suất trong một ca vận hành xảy ra cháy âm ỉ là

34\%

.
Hệ có hai cảm biến, mỗi cảm biến cho kết quả “báo có” hoặc “báo không”:

Cảm biến	Báo có khi có sự cố	Báo có khi không có sự cố	Chi phí đo (triệu đồng)
$1$ — đầu dò khói	$93\%$	$44\%$	$4$
$2$ — đo nhiệt hồng ngoại	$88\%$	$8\%$	$5$

Khi đã biết ca ấy có cháy âm ỉ hay không thì hai cảm biến cho kết quả độc lập với nhau (độc lập có điều kiện).
Cảm biến

1

luôn được đo. Cảm biến

2

chỉ được kích hoạt trên một nhánh kết quả của cảm biến

1

, và có hai chính sách:
Chính sách $A$ : chỉ đo cảm biến

2

khi cảm biến

1

báo có;
Chính sách $B$ : chỉ đo cảm biến

2

khi cảm biến

1

báo không.
Sau khi có đủ kết quả, hệ phát lệnh xử lí nếu xác suất có cháy âm ỉ tính theo các kết quả đã đo đạt ít nhất

\tau = 44\%

.
Chi phí: báo giả (phát lệnh mà không có cháy âm ỉ) tốn

20

triệu đồng; bỏ sót (có cháy âm ỉ mà không phát lệnh) tốn

50

triệu đồng.
Đặt

D = EC_A - EC_B

là hiệu chi phí kì vọng của hai chính sách.
Lập bảng hậu nghiệm ở từng lá của hai chính sách, tính chi phí kì vọng của mỗi chính sách, rồi cho biết

D

và nên chọn chính sách nào.

Công thức Bayes 8 câu

Bài tập công thức bayes — Toán lớp 12: 8 câu từ vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Vận dụng

Câu 10. Trong một cộng đồng có

5\%

người mắc một bệnh.
Xét nghiệm cho kết quả dương tính ở

87\%

người mắc bệnh và ở

5\%

người không mắc bệnh.
Một người có kết quả dương tính. Xác suất người đó thực sự mắc bệnh là (làm tròn đến hàng phần trăm).

0{,}87

0{,}48

0{,}05

0{,}04

Vận dụng

Câu 11. Chọn đều một trong

3

hộp H₁, H₂, H₃, mỗi hộp có xác suất

1/3

, rồi rút một viên bi. Xác suất đỏ ở từng hộp lần lượt là

\dfrac{1}{2}

;

\dfrac{1}{4}

;

\dfrac{1}{2}

. Bi rút ra đỏ. Tính xác suất đã chọn H₃.

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{2}{5}

Câu đúng / sai 1 câu

Vận dụng

Câu 12. Một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất

65\%

tổng sản phẩm, phân xưởng II sản xuất phần còn lại.
Tỉ lệ sản phẩm lỗi của phân xưởng I là

2\%

, của phân xưởng II là

3\%

.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Gọi

A

là biến cố sản phẩm do phân xưởng I sản xuất và

B

là biến cố sản phẩm bị lỗi.

P(A) = 0{,}65

P(B) = 0{,}0235

P(A \mid B) = P(B \mid A)

P(A \mid B) \approx 0{,}55

Trả lời ngắn 2 câu

Vận dụng

Câu 13. Trong một cộng đồng có

10\%

người mắc một bệnh.
Xét nghiệm cho kết quả dương tính ở

94\%

người mắc bệnh và ở

8\%

người không mắc bệnh.
Một người có kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 14. Một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất

60\%

tổng sản phẩm, phân xưởng II sản xuất phần còn lại.
Tỉ lệ sản phẩm lỗi của phân xưởng I là

4\%

, của phân xưởng II là

1\%

.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy và thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất (làm tròn đến hàng phần trăm).

Tự luận 3 câu

Vận dụng

Câu 15. Trong một cộng đồng có

8\%

người mắc một bệnh.
Xét nghiệm cho kết quả dương tính ở

85\%

người mắc bệnh và ở

1\%

người không mắc bệnh.
Một người có kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 16. Một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất

40\%

tổng sản phẩm, phân xưởng II sản xuất phần còn lại.
Tỉ lệ sản phẩm lỗi của phân xưởng I là

3\%

, của phân xưởng II là

5\%

.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy và thấy nó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 17. Chọn đều một trong

3

hộp H₁, H₂, H₃, mỗi hộp có xác suất

1/3

, rồi rút một viên bi. Xác suất đỏ ở từng hộp lần lượt là

\dfrac{3}{4}

;

\dfrac{1}{4}

;

\dfrac{3}{10}

. Bi rút ra đỏ. Tính xác suất đã chọn H₃. Giải thích vì sao tiên nghiệm 1/3 chung triệt tiêu.

Tính xác suất có điều kiện 15 câu

Bài tập tính xác suất có điều kiện — Toán lớp 12: 15 câu từ thông hiểu đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Thông hiểu

Câu 18. Trong lớp có

38

học sinh:

17

nam và

21

nữ.
Trong số nam có

14

em đạt giải, trong số nữ có

16

em đạt giải.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết học sinh đó là nam, tính xác suất em ấy đạt giải.

\dfrac{30}{38}

\dfrac{14}{17}

\dfrac{14}{38}

\dfrac{17}{38}

Vận dụng

Câu 19. Hai biến cố

A,B

có

P(A)=\dfrac{4}{13}

P(B)=\dfrac{5}{13}

và

P(A\cup B)=\dfrac{8}{13}

. Tính

P(A\mid B)

\dfrac{1}{13}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{4}{13}

Vận dụng

Câu 20. Một cửa hàng nhận sản phẩm từ nhà cung cấp A với tỉ lệ

\dfrac{4}{5}

và từ B với tỉ lệ

\dfrac{1}{5}

. Tỉ lệ sản phẩm lỗi trong hàng của A là

\dfrac{1}{10}

, trong hàng của B là

\dfrac{1}{25}

. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong toàn bộ hàng. Gọi

D

là biến cố sản phẩm được chọn bị lỗi. Biết sản phẩm được chọn bị lỗi, xác suất nó đến từ B bằng bao nhiêu?

\dfrac{1}{11}

\dfrac{10}{11}

\dfrac{1}{25}

\dfrac{1}{5}

Câu đúng / sai 4 câu

Thông hiểu

Câu 21. Hai biến cố A,B độc lập,

P(A)=\dfrac{9}{10}

và

P(B)=\dfrac{4}{5}

P(A\cap B)=\dfrac{18}{25}

P(A\cup B)=\dfrac{18}{25}

P(\overline A\cap\overline B)=\dfrac{7}{25}

P(A\mid B)=\dfrac{9}{10}

Vận dụng

Câu 22. Hai biến cố

A,B

có

P(A)=\dfrac{4}{5}

P(B)=\dfrac{7}{20}

và

P(A\cup B)=\dfrac{17}{20}

P(A\cap B)=\dfrac{3}{10}

P(\text{đúng một})=\dfrac{11}{20}

P(\text{không biến cố})=\dfrac{3}{20}

P(A\mid B)=\dfrac{3}{8}

Vận dụng

Câu 23. Một hộp có

9

bi đỏ và

7

bi xanh, các bi phân biệt. Rút lần lượt hai bi ngẫu nhiên, không hoàn lại. Gọi

D_1,D_2

lần lượt là biến cố lần đầu, lần hai rút được bi đỏ;

X_1

là biến cố lần đầu rút được bi xanh.

P(D_1\cap D_2)=\dfrac{3}{10}

P(D_2)=\dfrac{8}{15}

P(X_1\mid D_2)=\dfrac{7}{15}

d) Hai biến cố

D_1,D_2

độc lập.

Thông hiểu

Câu 24. Trong lớp có

33

học sinh:

23

nam và

10

nữ.
Trong số nam có

17

em đạt giải, trong số nữ có

7

em đạt giải.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.

a) Biết học sinh được chọn là nam, xác suất em ấy đạt giải xấp xỉ

0{,}74

b) Biết học sinh được chọn đạt giải, xác suất em ấy là nam xấp xỉ

0{,}71

c) Biến cố học sinh đạt giải và biến cố học sinh là nam độc lập nhau.

d) Biết học sinh được chọn là nam, xác suất em ấy đạt giải bằng

\dfrac{17}{33}

Trả lời ngắn 3 câu

Vận dụng

Câu 25. Một cửa hàng nhận sản phẩm từ nhà cung cấp A với tỉ lệ

\dfrac{7}{10}

và từ B với tỉ lệ

\dfrac{3}{10}

. Tỉ lệ sản phẩm lỗi trong hàng của A là

\dfrac{2}{25}

, trong hàng của B là

\dfrac{1}{10}

. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong toàn bộ hàng. Gọi

D

là biến cố sản phẩm được chọn bị lỗi. Biết sản phẩm lỗi, tính xác suất nó đến từ B theo phần trăm (làm tròn đến hàng phần mười).

Vận dụng

Câu 26. Hai biến cố

A,B

có

P(A)=\dfrac{20}{33}

P(B)=\dfrac{17}{33}

và

P(A\cup B)=\dfrac{25}{33}

. Tính

P(A\mid B)

, theo phần trăm (làm tròn đến hàng phần mười).

Thông hiểu

Câu 27. Trong lớp có

54

học sinh:

30

nam và

24

nữ.
Trong số nam có

20

em đạt giải, trong số nữ có

14

em đạt giải.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết học sinh đó là nam, tính xác suất em ấy đạt giải (làm tròn đến hàng phần trăm).

Tự luận 5 câu

Vận dụng

Câu 28. Một hộp có

3

bi đỏ và

3

bi xanh, các bi phân biệt. Rút lần lượt hai bi ngẫu nhiên, không hoàn lại. Gọi

D_1,D_2

lần lượt là biến cố lần đầu, lần hai rút được bi đỏ;

X_1

là biến cố lần đầu rút được bi xanh.

Thông hiểu

Câu 29. Hai biến cố A,B độc lập,

P(A)=\dfrac{3}{10}

và

P(B)=\dfrac{2}{5}

Vận dụng

Câu 30. Hai biến cố

A,B

có

P(A)=\dfrac{9}{17}

P(B)=\dfrac{1}{2}

và

P(A\cup B)=\dfrac{12}{17}

Vận dụng

Câu 31. Một cửa hàng nhận sản phẩm từ nhà cung cấp A với tỉ lệ

\dfrac{1}{5}

và từ B với tỉ lệ

\dfrac{4}{5}

. Tỉ lệ sản phẩm lỗi trong hàng của A là

\dfrac{1}{25}

, trong hàng của B là

\dfrac{1}{20}

. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong toàn bộ hàng. Gọi

D

là biến cố sản phẩm được chọn bị lỗi. a) Tính

P(D)

. b) Biết sản phẩm được chọn bị lỗi, tính xác suất nó đến từ B.

Thông hiểu

Câu 32. Trong lớp có

52

học sinh:

26

nam và

26

nữ.
Trong số nam có

21

em đạt giải, trong số nữ có

19

em đạt giải.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết học sinh đó là nam, tính xác suất em ấy đạt giải (làm tròn đến hàng phần trăm).

Khái niệm và ý nghĩa của xác suất có điều kiện 9 câu

Bài tập khái niệm và ý nghĩa của xác suất có điều kiện — Toán lớp 12: 9 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Nhận biết

Câu 33. Cho

P(A \mid B) = 0{,}63

và

P(B) = 0{,}42

. Tính

P(A \cap B)

(làm tròn đến hàng phần trăm).

0{,}26

1{,}05

0{,}63

1{,}5

Thông hiểu

Câu 34. Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm xuất hiện là số chẵn, xác suất số chấm lớn hơn

3

bằng

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{6}

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu

Câu 35. Cho hai biến cố

A

và

B

với

P(A \cap B) = 0{,}34

và

P(B) = 0{,}52

P(A \mid B)

luôn không vượt quá

1

P(B) = 0{,}52

P(A \mid B) = 0{,}75

d) Công thức

P(A \mid B)

dùng được cả khi

P(B) = 0

Nhận biết

Câu 36. Nhận biết xác suất có điều kiện. Xét các nhận định về định nghĩa và quy tắc đã học.

P(A\mid B)

luôn bằng

P(B\mid A)

b) Biết B đã xảy ra có nghĩa là bỏ mọi kết quả thuộc B ra khỏi không gian xét.

c) Để xác định

P(A\mid B)

theo công thức tỉ số cần

P(B)>0

d) Mẫu số trong công thức của

P(A\mid B)

là

P(A)

Trả lời ngắn 2 câu

Nhận biết

Câu 37. Cho

P(A \cap B) = 0{,}38

và

P(B) = 0{,}63

. Tính

P(A \mid B)

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 38. Chọn đều một số nguyên từ 1 đến

45

. Biết số được chọn là số lẻ. Tính xác suất số ấy là số nguyên tố theo phần trăm, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Tự luận 3 câu

Nhận biết

Câu 39. Cho

P(A \cap B) = 0{,}35

và

P(B) = 0{,}47

. Tính

P(A \mid B)

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 40. Chọn đều một số nguyên từ 1 đến

67

. Biết số được chọn là số lẻ. Tính xác suất có điều kiện để số ấy là số nguyên tố.

Nhận biết

Câu 41. Nhận biết xác suất có điều kiện. Trình bày hai nội dung sau.

Sơ đồ hình cây trong bài toán xác suất có điều kiện 7 câu

Bài tập sơ đồ hình cây trong bài toán xác suất có điều kiện — Toán lớp 12: 7 câu từ thông hiểu đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Thông hiểu

Câu 42. Một cơ sở dùng hai máy để sản xuất. Máy thứ nhất làm ra

40\%

tổng số sản phẩm, phần còn lại do máy thứ hai làm ra. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy thứ nhất là

95\%

, của máy thứ hai là

85\%

. Trong một lô

1000

sản phẩm, số sản phẩm đạt chuẩn theo kỳ vọng bằng

890

950

110

900

Vận dụng

Câu 43. Một cơ sở dùng hai nhà cung cấp để sản xuất. Nhà cung cấp thứ nhất làm ra

60\%

tổng số kiện hàng, phần còn lại do nhà cung cấp thứ hai làm ra. Tỉ lệ kiện hàng còn nguyên vẹn của nhà cung cấp thứ nhất là

95\%

, của nhà cung cấp thứ hai là

85\%

. Biết một kiện hàng lấy ra còn nguyên vẹn, xác suất kiện hàng đó do nhà cung cấp thứ nhất làm ra bằng (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).

0{,}6

0{,}3736

0{,}6264

0{,}95

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 44. Một cơ sở dùng hai máy để sản xuất. Máy thứ nhất làm ra

70\%

tổng số sản phẩm, phần còn lại do máy thứ hai làm ra. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy thứ nhất là

80\%

, của máy thứ hai là

75\%

a) Tổng xác suất hai nhánh của sơ đồ cây bằng

1

b) Số sản phẩm đạt chuẩn kỳ vọng trong lô

3000

sản phẩm bằng

2355

c) Nếu máy thứ nhất và máy thứ hai có cùng tỉ lệ đạt chuẩn thì tỉ lệ chung cũng bằng tỉ lệ ấy.

d) Biết một sản phẩm đạt chuẩn thì chắc chắn nó do nhánh có tỉ lệ đạt chuẩn cao hơn làm ra.

Trả lời ngắn 2 câu

Vận dụng

Câu 45. Một khóa học có

40\%

học viên theo lộ trình A, phần còn lại theo B. Tỉ lệ đạt của A là

\dfrac{11}{12}

, tỉ lệ đạt của B chưa biết. Tỉ lệ đạt chung là

\dfrac{31}{60}

. Biết học viên đã đạt, tính xác suất người ấy theo B theo phần trăm, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Thông hiểu

Câu 46. Một cơ sở dùng hai phân xưởng để sản xuất. Phân xưởng A làm ra

80\%

tổng số sản phẩm, phần còn lại do phân xưởng B làm ra. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của phân xưởng A là

85\%

, của phân xưởng B là

75\%

. Trong một lô

3000

sản phẩm, tính số sản phẩm đạt chuẩn theo kỳ vọng.

Tự luận 2 câu

Thông hiểu

Câu 47. Một cơ sở dùng hai phân xưởng để sản xuất. Phân xưởng A làm ra

50\%

tổng số sản phẩm, phần còn lại do phân xưởng B làm ra. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của phân xưởng A là

95\%

, của phân xưởng B là

90\%

. Trong một lô

1000

sản phẩm, tính số sản phẩm đạt chuẩn theo kỳ vọng.

Vận dụng

Câu 48. Một khóa học có

60\%

học viên theo lộ trình A, phần còn lại theo B. Tỉ lệ đạt của A là

\dfrac{11}{12}

, tỉ lệ đạt của B chưa biết. Tỉ lệ đạt chung là

\dfrac{43}{60}

Công thức nhân xác suất tổng quát 9 câu

Bài tập công thức nhân xác suất tổng quát — Toán lớp 12: 9 câu từ thông hiểu đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Vận dụng

Câu 49. Một thùng hàng có

4

sản phẩm loại I và

8

sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm, mỗi lần lấy một sản phẩm và không hoàn lại. Tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra khác loại.

\dfrac{17}{33}

\dfrac{8}{33}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{16}{33}

Thông hiểu

Câu 50. Một hộp có

2

viên bi đỏ và

6

viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi, mỗi lần lấy một viên bi và không hoàn lại. Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được viên bi đỏ.

\dfrac{1}{7}

\dfrac{1}{32}

\dfrac{1}{28}

\dfrac{1}{16}

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 51. Một thùng hàng có

6

sản phẩm loại I và

9

sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm, mỗi lần lấy một sản phẩm và không hoàn lại.
Gọi

A

là biến cố lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I và

B

là biến cố lần thứ hai lấy được sản phẩm loại I.

P(B \mid A) = \dfrac{3}{7}

P(A \cap B) = \dfrac{1}{7}

c) Hai biến cố

A

và

B

độc lập với nhau.

d) Xác suất cả hai lần đều lấy được sản phẩm loại II bằng

\dfrac{12}{35}

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu

Câu 52. Một thùng hàng có

11

sản phẩm loại I và

6

sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm, mỗi lần lấy một sản phẩm và không hoàn lại. Tính xác suất để lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I và lần thứ hai lấy được sản phẩm loại II (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 53. Mọi thiết bị làm cả hai bài thử A,B. Tỉ lệ vượt A là

60\%

. Trong nhóm vượt A, tỉ lệ vượt B là

85\%

; trong nhóm trượt A, tỉ lệ vượt B là

80\%

. Chọn ngẫu nhiên một thiết bị. Tính xác suất đã vượt A khi biết vượt B, theo phần trăm và làm tròn đến một chữ số thập phân.

Vận dụng

Câu 54. Một ống đựng bút có

8

chiếc bút màu xanh và

6

chiếc bút màu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai chiếc bút, mỗi lần lấy một chiếc bút và không hoàn lại. Tính xác suất để hai chiếc bút lấy ra khác màu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Tự luận 3 câu

Thông hiểu

Câu 55. Một thùng hàng có

9

sản phẩm loại I và

11

sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm, mỗi lần lấy một sản phẩm và không hoàn lại. Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được sản phẩm loại I (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 56. Một hộp có

11

viên bi đỏ và

4

viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi, mỗi lần lấy một viên bi và không hoàn lại. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra khác màu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng

Câu 57. Mọi thiết bị làm cả hai bài thử A,B. Tỉ lệ vượt A là

50\%

. Trong nhóm vượt A, tỉ lệ vượt B là

85\%

; trong nhóm trượt A, tỉ lệ vượt B là

30\%

. Chọn ngẫu nhiên một thiết bị.

Công thức xác suất toàn phần 6 câu

Bài tập công thức xác suất toàn phần — Toán lớp 12: 6 câu từ thông hiểu đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 1 câu

Thông hiểu

Câu 58. Xác suất để ngày mai trời mưa là

0{,}7

.
Nếu trời mưa thì xác suất An đi học muộn là

0{,}2

; nếu trời không mưa thì xác suất đó là

0{,}4

.
Gọi

A

là biến cố ngày mai trời mưa,

B

là biến cố ngày mai An đi học muộn.
Tính

P(A \cap \overline{B})

0{,}14

0{,}06

0{,}86

0{,}56

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 59. Xác suất để ngày mai trời mưa là

0{,}7

.
Nếu trời mưa thì xác suất An đi học muộn là

0{,}1

; nếu trời không mưa thì xác suất đó là

0{,}9

.
Gọi

A

là biến cố ngày mai trời mưa,

B

là biến cố ngày mai An đi học muộn.

P(A \cap B) = 0{,}07

P(B) = 0{,}5

P(\overline{B}) = 0{,}66

d) Hai biến cố

A

và

B

độc lập.

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu

Câu 60. Xác suất để ngày mai trời mưa là

0{,}6

.
Nếu trời mưa thì xác suất An đi học muộn là

0{,}1

; nếu trời không mưa thì xác suất đó là

0{,}8

.
Gọi

A

là biến cố ngày mai trời mưa,

B

là biến cố ngày mai An đi học muộn.
Tính xác suất để An không đi học muộn.

Vận dụng

Câu 61. Một kho nhập

40\%

sản phẩm từ A và phần còn lại từ B. Tỉ lệ lỗi của A là

1\%

, tỉ lệ lỗi chung là

4\%

. Các tỉ lệ ổn định. Gọi

p_B

là tỉ lệ lỗi của B và

w

là tỉ trọng mới nhập từ A; mục tiêu là tỉ lệ lỗi chung không vượt

2\%

. Tính tỉ trọng nhập từ A tối thiểu theo phần trăm, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Tự luận 2 câu

Vận dụng

Câu 62. Một kho nhập

40\%

sản phẩm từ A và phần còn lại từ B. Tỉ lệ lỗi của A là

3\%

, tỉ lệ lỗi chung là

\dfrac{27}{5}\%

. Các tỉ lệ ổn định. Gọi

p_B

là tỉ lệ lỗi của B và

w

là tỉ trọng mới nhập từ A; mục tiêu là tỉ lệ lỗi chung không vượt

5\%

Thông hiểu

Câu 63. Xác suất để ngày mai trời mưa là

0{,}4

.
Nếu trời mưa thì xác suất An đi học muộn là

0{,}9

; nếu trời không mưa thì xác suất đó là

0{,}6

.
Gọi

A

là biến cố ngày mai trời mưa,

B

là biến cố ngày mai An đi học muộn.
Tính xác suất để An không đi học muộn.

Bảng dữ liệu thống kê 2 x 2 trong bài toán xác suất 7 câu

Bài tập bảng dữ liệu thống kê 2 x 2 trong bài toán xác suất — Toán lớp 12: 7 câu từ thông hiểu đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 1 câu

Thông hiểu

Câu 64. Khảo sát

100

học sinh của một trường:

25

em vừa có học thêm (

A

) vừa đạt điểm khá trở lên (

B

20

em chỉ có học thêm,

40

em chỉ đạt điểm khá trở lên và

15

em không thuộc nhóm nào.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó.
Tính xác suất xảy ra đúng một trong hai biến cố

A

B

\dfrac{3}{5}

\dfrac{17}{20}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{1}{4}

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu

Câu 65. Khảo sát

100

học sinh của một trường:

40

em vừa có học thêm (

A

) vừa đạt điểm khá trở lên (

B

15

em chỉ có học thêm,

10

em chỉ đạt điểm khá trở lên và

35

em không thuộc nhóm nào.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó.
Gọi

A

B

là hai biến cố tương ứng với hai tính chất nói trên.

P(A) = \dfrac{11}{20}

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{7}{20}

c) Xác suất xảy ra đúng một trong hai biến cố bằng

\dfrac{1}{4}

d) Hai biến cố

A

và

B

độc lập.

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu

Câu 66. Một hộp có

20

tấm thẻ được chia thành bốn nhóm:

2

thẻ vừa mang tính chất

A

vừa mang tính chất

B

4

thẻ chỉ mang tính chất

A

8

thẻ chỉ mang tính chất

B

và

6

thẻ không mang tính chất nào.
Chọn ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp.
Biết tấm thẻ được chọn mang tính chất

A

, tính xác suất nó mang tính chất

B

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Thông hiểu

Câu 67. Bảng đếm: trong nhóm đã học khóa A có 1 người đỗ và 4 người trượt; trong nhóm chưa học có 3 người đỗ và 3 người trượt. Chọn ngẫu nhiên trong những người đã học. Xác suất đỗ tính bằng phần trăm là bao nhiêu?

Tự luận 3 câu

Thông hiểu

Câu 68. Khảo sát

100

học sinh của một trường:

10

em vừa có học thêm (

A

) vừa đạt điểm khá trở lên (

B

25

em chỉ có học thêm,

45

em chỉ đạt điểm khá trở lên và

20

em không thuộc nhóm nào.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó.
Biết học sinh được chọn có học thêm, tính xác suất em ấy đạt điểm khá trở lên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Vận dụng cao

Câu 69. Một tổ tư vấn tuyển sinh theo dõi hai cách hướng dẫn

A

và

B

trên các hồ sơ thuộc hai nhóm: hồ sơ phức tạp và hồ sơ đơn giản. Kết quả được coi là thành công nếu hồ sơ ấy nộp đúng hạn. Số liệu ghi lại:

Nhóm hồ sơ phức tạp	Số hồ sơ nộp đúng hạn	Số hồ sơ không	Tổng số hồ sơ
Cách hướng dẫn $A$	$38$	$57$	$95$
Cách hướng dẫn $B$	$16$	$40$	$56$

Nhóm hồ sơ đơn giản	Số hồ sơ nộp đúng hạn	Số hồ sơ không	Tổng số hồ sơ
Cách hướng dẫn $A$	$42$	$15$	$57$
Cách hướng dẫn $B$	$156$	$64$	$220$

Một bản tin dựa vào tỉ lệ thành công gộp của cả hai nhóm và kết luận: “Cách hướng dẫn

B

hiệu quả hơn cách hướng dẫn

A

, nên hãy chuyển sang dùng

B

.”
Lưu ý: số liệu trên là số liệu quan sát — việc mỗi hồ sơ được giao cho cách hướng dẫn nào là do thực tế điều phối, không phải do bốc ngẫu nhiên.

Thông hiểu

Câu 70. Bảng đếm: trong nhóm đã học khóa A có 2 người đỗ và 3 người trượt; trong nhóm chưa học có 5 người đỗ và 5 người trượt. Chọn ngẫu nhiên trong những người đã học. Xác suất đỗ tính bằng phần trăm là bao nhiêu? Trình bày lập luận và các bước tính.

Ôn tập chương Xác suất có điều kiện — Toán lớp 12

Chương Xác suất có điều kiện trong chương trình Toán lớp 12 thuộc mạch thống kê và xác suất có 70 câu hỏi chia thành 8 dạng bài, mỗi câu kèm đáp án và lời giải chi tiết. Đây là bộ bài tập xác suất có điều kiện đầy đủ để ôn luyện sau khi học xong chương trên lớp.

Các dạng bài trong chương: ứng dụng xác suất có điều kiện, xác suất toàn phần và công thức bayes trong thực tiễn (9 câu), công thức bayes (8 câu), tính xác suất có điều kiện (15 câu), khái niệm và ý nghĩa của xác suất có điều kiện (9 câu), sơ đồ hình cây trong bài toán xác suất có điều kiện (7 câu), công thức nhân xác suất tổng quát (9 câu) và 2 dạng khác. Bấm vào tên dạng để nhảy thẳng tới nhóm câu hỏi của dạng ấy.

Độ khó rải đều bốn mức của ma trận đề: 5 câu nhận biết, 29 câu thông hiểu, 33 câu vận dụng và 3 câu vận dụng cao. Làm từ nhận biết lên vận dụng cao để biết mình hổng ở mức nào.

Đủ các dạng câu của đề thi tốt nghiệp THPT: 15 câu trắc nghiệm nhiều phương án, 12 câu đúng – sai, 19 câu trả lời ngắn và 24 câu tự luận. Quen tay cả bốn dạng câu thì vào phòng thi không mất thời gian làm quen cách hỏi.

Có thể làm trực tiếp trên trang, hoặc tải đề bài cả chương dưới dạng PDF miễn phí để in ra làm trên giấy; bản lời giải chi tiết cả chương tải riêng. Học xong chương nào nên luyện ngay chương ấy, rồi làm đề thi thử Toán lớp 12 để kiểm tra lại toàn bộ chương trình.

Đọc tiếpThu gọn