Năm học 2026–2027 · Thi tốt nghiệp THPT 2027 · Đề mới mỗi ngày, làm và chấm ngay trên web

Đăng ký Đăng nhập
Đăng ký Đăng nhập
Tốt nghiệp THPT
Bộ đề VIP Thi LIVE
T Toán
Đề thi thử 6 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025 Đề các trường 2026
L Vật lý
Đề thi thử 6 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025 Đề các trường 2026
H Hóa học
Đề thi thử 5 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025
Lớp 12
T Toán
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 7 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 11 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 11
T Toán
Ôn luyện chương 12 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 7 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 10
T Toán
Ôn luyện chương 12 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 11 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 9
T Toán
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
KHTN Khoa học tự nhiên
Ôn luyện chương 17 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 8
T Toán
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
KHTN Khoa học tự nhiên
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Tin tức
Toán Lớp 12 Một số yếu tố giải tích

Nguyên hàm và tích phân — ôn luyện Toán lớp 12

138 câu hỏi chia theo 10 dạng bài, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu. Mỗi câu chỉ xuất hiện một lần — không có hai bài giống nhau chỉ khác bộ số.

Tải đề bài cả chươngPDF · MIỄN PHÍ

Khái niệm nguyên hàm và họ nguyên hàm 11 câu

Bài tập khái niệm nguyên hàm và họ nguyên hàm — Toán lớp 12: 11 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 1. Tìm aa để ax4ax^{4} là một nguyên hàm của 5x35x^{3}.
A 53\dfrac{5}{3}
B 2020
C 55
D 54\dfrac{5}{4}
Vận dụng
Câu 2. Hàm FF thỏa F′(x)=mx+2F'(x)=mx + 2 trên R\mathbb R, với mm là hằng số chưa biết. Biết F(0)=4F(0)=4 và F(2)=32F(2)=32. Giá trị F(3)F(3) bằng
A 6060
B 118118
C 6868
D 6464
Thông hiểu
Câu 3. Cho F′(x)=2x+2F'(x) = 2x + 2 và F(0)=7F(0) = 7. Giá trị F(2)F(2) bằng
A 88
B 1515
C 66
D 11

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 4. Cho hàm số FF thoả F′(x)=5x2+3F'(x) = 5x^{2} + 3 và F(0)=3F(0) = 3.
a) F(3)−F(0)=54F(3) - F(0) = 54.
b) F′(3)=48F'(3) = 48.
c) Nếu F′=0F' = 0 trên một khoảng thì FF là hằng số trên khoảng ấy.
d) Nguyên hàm của một đa thức bậc nn là đa thức bậc nn.
Nhận biết
Câu 5. Nhận biết nguyên hàm và hằng số tích phân. Xét các nhận định về định nghĩa và quy tắc đã học.
a) Hằng số C trong họ nguyên hàm bắt buộc bằng 0.
b) Tích phân bất định luôn là một số cụ thể.
c) Định nghĩa nguyên hàm yêu cầu F(x)=f′(x)F(x)=f\prime(x).
d) Một nguyên hàm của hàm 1 trên R là x.

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu
Câu 6. Cho F′(x)=5x3F'(x) = 5x^{3} và F(0)=5F(0) = 5. Tính F(4)F(4).
Vận dụng
Câu 7. Hàm FF thỏa F′(x)=mx+4F'(x)=mx + 4 trên R\mathbb R, với mm là hằng số chưa biết. Biết F(0)=2F(0)=2 và F(1)=8F(1)=8. Tính F(2)F(2).

Tự luận 4 câu

Thông hiểu
Câu 8. Cho F′(x)=3x+3F'(x) = 3x + 3 và F(0)=4F(0) = 4. Tính F(3)F(3).
Vận dụng
Câu 9. Hàm FF thỏa F′(x)=mx+2F'(x)=mx + 2 trên R\mathbb R, với mm là hằng số chưa biết. Biết F(0)=1F(0)=1 và F(3)=88F(3)=88. Tính F(4)F(4).
Nhận biết
Câu 10. Trên khoảng I=(−1;4)I=(-1;4), xét F(x)=2x2+2x+3F(x)=2x^{2} + 2x + 3 và f(x)=4x+2f(x)=4x + 2. Nêu đúng điều kiện định nghĩa FF là nguyên hàm của ff trên khoảng này, rồi kiểm tra điều kiện với hai hàm đã cho.
Nhận biết
Câu 11. Nhận biết nguyên hàm và hằng số tích phân. Trình bày hai nội dung sau.

Các tính chất cơ bản của nguyên hàm 12 câu

Bài tập các tính chất cơ bản của nguyên hàm — Toán lớp 12: 12 câu từ thông hiểu đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Thông hiểu
Câu 12. Cho hai hàm số f(x)f(x), g(x)g(x) liên tục trên R\mathbb{R}, biết ∫f(x) dx=−x2+2x+C\int f(x)\,dx = -x^{2} + 2x + C và ∫g(x) dx=−2x3+2x+C\int g(x)\,dx = -2x^{3} + 2x + C. Khi đó ∫(4f(x)−3g(x)) dx\int \left(4f(x) - 3g(x)\right)\,dx bằng:
A 6x3−4x2+2x+C6x^{3} - 4x^{2} + 2x + C
B −8x3+3x2+2x+C-8x^{3} + 3x^{2} + 2x + C
C −6x3−4x2+14x+C-6x^{3} - 4x^{2} + 14x + C
D −2x3−x2+4x+C-2x^{3} - x^{2} + 4x + C
Thông hiểu
Câu 13. Trên khoảng (−3;5)(-3;5), hai hàm F,GF,G đều là nguyên hàm của cùng hàm ff. Biết F(−2)=−6F(-2)=-6 và G(−2)=−1G(-2)=-1 . Giá trị F(4)−G(4)F(4)-G(4) bằng
A −5-5
B −6-6
C 55
D −7-7
Vận dụng
Câu 14. Cho hai hàm số f(x)f(x), g(x)g(x) liên tục trên R\mathbb{R}, biết ∫f(x) dx=x2+4x+C\int f(x)\,dx = x^{2} + 4x + C và ∫(3f(x)−2g(x)) dx=4x3+3x2+18x+C\int \left(3f(x) - 2g(x)\right)\,dx = 4x^{3} + 3x^{2} + 18x + C. Khi đó ∫g(x) dx\int g(x)\,dx bằng:
A 2x3+3x+C2x^{3} + 3x + C
B 4x3+6x+C4x^{3} + 6x + C
C 4x3+2x2+14x+C4x^{3} + 2x^{2} + 14x + C
D −2x3−3x+C-2x^{3} - 3x + C
Vận dụng
Câu 15. Trên R\mathbb R, xét f(x)=14sin⁡(4x)f(x)=14\sin(4x) và hai hàm F1(x)=7sin⁡2(2x)F_1(x)=7\sin^2(2x), F2(x)=−7cos⁡2(2x)F_2(x)=-7\cos^2(2x). Hằng số CC trong F1=F2+CF_1=F_2+C bằng bao nhiêu?
A 77
B −7-7
C 00
D 1414

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 16. Cho hai hàm số f(x)f(x), g(x)g(x) liên tục trên R\mathbb{R} thỏa mãn ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C và ∫g(x) dx=G(x)+C\int g(x)\,dx = G(x) + C, trong đó F(x)=−3x2+3xF(x) = -3x^{2} + 3x và G(x)=2x3−xG(x) = 2x^{3} - x.
a) ∫4f(x) dx=−3x2+3x+C\int 4f(x)\,dx = -3x^{2} + 3x + C.
b) f(x)=−6x+3f(x) = -6x + 3.
c) ∫(4f(x)+2g(x)) dx=4x3−12x2+10x+C\int \left(4f(x) + 2g(x)\right)\,dx = 4x^{3} - 12x^{2} + 10x + C.
d) Nếu H1(x)H_1(x) và H2(x)H_2(x) cùng là nguyên hàm của 4f(x)+2g(x)4f(x) + 2g(x) thì H1(x)−H2(x)H_1(x) - H_2(x) là một hằng số.

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu
Câu 17. Trên khoảng (−4;1)(-4;1), hai hàm F,GF,G đều là nguyên hàm của cùng hàm ff. Biết F(−3)=1F(-3)=1 và G(−3)=−1G(-3)=-1 . Tính F(−1)−G(−1)F(-1)-G(-1).
Thông hiểu
Câu 18. Cho hai hàm số f(x)f(x), g(x)g(x) liên tục trên R\mathbb{R}, biết ∫f(x) dx=−3x2−2x+C\int f(x)\,dx = -3x^{2} - 2x + C và ∫g(x) dx=−2x3+2x+C\int g(x)\,dx = -2x^{3} + 2x + C. Tính giá trị của biểu thức 2f(1)+3g(1)2f(1) + 3g(1) (trả lời kèm dấu).
Thông hiểu
Câu 19. F và G là hai nguyên hàm của cùng hàm liên tục f trên R. Biết F(1)=4, G(4)=17, và G(2)−F(2)=5. Tích phân của f từ 1 đến 4 bằng bao nhiêu?

Tự luận 4 câu

Thông hiểu
Câu 20. Cho hai hàm số f(x)f(x), g(x)g(x) liên tục trên R\mathbb{R}, biết ∫f(x) dx=3x2−2x+C\int f(x)\,dx = 3x^{2} - 2x + C và ∫g(x) dx=−2x3+x+C\int g(x)\,dx = -2x^{3} + x + C. Biết ∫(3f(x)−3g(x)) dx=αx3+βx2+γx+C\int \left(3f(x) - 3g(x)\right)\,dx = \alpha x^{3} + \beta x^{2} + \gamma x + C. Tính α+β+γ\alpha + \beta + \gamma.
Thông hiểu
Câu 21. Trên khoảng (−2;5)(-2;5), hai hàm F,GF,G đều là nguyên hàm của cùng hàm ff. Biết F(−1)=−4F(-1)=-4 và G(−1)=8G(-1)=8 . Tính F(1)−G(1)F(1)-G(1).
Vận dụng
Câu 22. Trên D=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}, đặt f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}, F(x)=ln⁡∣x∣F(x)=\ln|x| và G(x)={ln⁡∣x∣−4,x<0,ln⁡∣x∣−1,x>0.G(x)=\begin{cases}\ln|x| - 4,&x<0,\\\ln|x| - 1,&x>0.\end{cases}. Tính F′F' và G′G' trên DD. Xét có một hằng số chung CC để G=F+CG=F+C trên toàn miền không; nêu hằng số của hiệu G−FG-F trên mỗi khoảng.
Thông hiểu
Câu 23. F và G là hai nguyên hàm của cùng hàm liên tục f trên R. Biết F(1)=5, G(4)=13, và G(2)−F(2)=6. Tích phân của f từ 1 đến 4 bằng bao nhiêu? Trình bày lập luận và các bước tính.

Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp 15 câu

Bài tập bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp — Toán lớp 12: 15 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 6 câu

Nhận biết
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x7f(x) = 2x^{7} là:
A 14x8+C\dfrac{1}{4}x^{8} + C
B 2x87+C\dfrac{2x^{8}}{7} + C
C 14x6+C14x^{6} + C
D 2x7+C2x^{7} + C
Nhận biết
Câu 25. Biết ∫f(x) dx=−3sin⁡x+C\int f(x)\,dx = -3\sin x + C. Khẳng định nào sau đây đúng?
A f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x
B f(x)=−3cos⁡xf(x) = -3\cos x
C f(x)=−3sin⁡xf(x) = -3\sin x
D f(x)=3sin⁡xf(x) = 3\sin x
Vận dụng
Câu 26. Nguyên hàm F(x)F(x) của hàm số f(x)=2x+3x3f(x) = \dfrac{2}{x} + 3x^{3} thoả mãn F(1)=1F(1) = 1 là
A F(x)=2ln⁡∣x∣+34x4+74F(x) = 2\ln|x| + \dfrac{3}{4}x^{4} + \dfrac{7}{4}
B F(x)=2ln⁡∣x∣+3x4−2F(x) = 2\ln|x| + 3x^{4} - 2
C F(x)=2ln⁡∣x∣+34x4+14F(x) = 2\ln|x| + \dfrac{3}{4}x^{4} + \dfrac{1}{4}
D F(x)=2ln⁡∣x∣+34x4+1F(x) = 2\ln|x| + \dfrac{3}{4}x^{4} + 1
Thông hiểu
Câu 27. Trên toàn trục số, cho hàm f(x)=10xx2+9f(x)=\dfrac{10x}{x^{2} + 9}. Hàm nào sau đây là một nguyên hàm?
A x2x2+9\dfrac{x^2}{x^{2} + 9}
B 1x2+9\dfrac{1}{x^{2} + 9}
C 10ln⁡(x2+9)10\ln(x^{2} + 9)
D 5ln⁡(x2+9)5\ln(x^{2} + 9)
Thông hiểu
Câu 28. Cho F′(x)=12x3F'(x)=12x^{3}, F(0)=−1F(0)=-1. Giá trị F(3)F(3) bằng
A 323323
B 242242
C 243243
D 8080
Thông hiểu
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=8x3+x+4x2f(x) = \dfrac{8x^{3} + x + 4}{x^{2}} là
A 4x2+ln⁡∣x∣+4x+C4x^{2} + \ln|x| + \dfrac{4}{x} + C
B 4x2+x+4ln⁡∣x∣+C4x^{2} + x + 4\ln|x| + C
C 4x2+ln⁡∣x∣−4x+C4x^{2} + \ln|x| - \dfrac{4}{x} + C
D 8x2+ln⁡∣x∣−4x+C8x^{2} + \ln|x| - \dfrac{4}{x} + C

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 30. Cho hàm số f(x)=5x2f(x) = 5x^{2}.
a) F(x)=53x3F(x) = \dfrac{5}{3}x^{3} là một nguyên hàm của f(x)f(x).
b) f′(x)=10xf'(x) = 10x.
c) Mọi nguyên hàm của f(x)f(x) chỉ khác nhau một hằng số.
d) f(x)f(x) là hàm số lẻ.
Vận dụng
Câu 31. Cho hàm số f(x)=2x2+5f(x) = \dfrac{2}{x^{2}} + 5. Gọi F(x)F(x) là nguyên hàm của f(x)f(x) thoả mãn F(1)=−8F(1) = -8.
a) ∫f(x) dx=−2x+5x+C\int f(x)\,dx = -\dfrac{2}{x} + 5x + C.
b) F(x)=−2x+5x−8F(x) = -\dfrac{2}{x} + 5x - 8.
c) ∫13f(x) dx≈17,33\int_{1}^{3} f(x)\,dx \approx 17{,}33 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d) F(3)≈3,33F\left(3\right) \approx 3{,}33 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu
Câu 32. Biết ∫(−2x−3cos⁡x)dx=aln⁡∣x∣+bsin⁡x+C\int \left(-\dfrac{2}{x} - 3\cos x\right)dx = a\ln|x| + b\sin x + C với aa, bb là các số thực. Tính abab.
Vận dụng
Câu 33. Cho F(x)F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=−5+3sin⁡xf(x) = -5 + 3\sin x thoả mãn F(0)=18F(0) = 18. Tính F(π2)F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) (làm tròn đến hàng phần mười).
Thông hiểu
Câu 34. Cho F′(x)=8x3F'(x)=8x^{3}, F(0)=−4F(0)=-4. Tính F(1)F(1) (trả lời kèm dấu).

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 35. Cho hàm số f(x)=8x8f(x) = 8x^{8}.
Thông hiểu
Câu 36. Trên toàn trục số, cho hàm f(x)=10xx2+8f(x)=\dfrac{10x}{x^{2} + 8}. Tìm họ nguyên hàm trên toàn trục số và kiểm tra bằng đạo hàm, gồm điều kiện miền.
Vận dụng
Câu 37. Cho hàm số f(x)=−3x2+3f(x) = -\dfrac{3}{x^{2}} + 3. Gọi F(x)F(x) là nguyên hàm của f(x)f(x) thoả mãn F(1)=19F(1) = 19.
Thông hiểu
Câu 38. Cho F′(x)=4xF'(x)=4x, F(0)=2F(0)=2. Tính F(3)F(3).

Ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong chuyển động và bài toán thực tiễn 16 câu

Bài tập ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong chuyển động và bài toán thực tiễn — Toán lớp 12: 16 câu từ thông hiểu đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Thông hiểu
Câu 39. Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t)=4t−8v(t) = 4t - 8 (m/s), trong đó tt tính bằng giây. Tính độ dịch chuyển của chất điểm trong 66 giây đầu tiên.
A 72 m72\,\text{m}
B 40 m40\,\text{m}
C 24 m24\,\text{m}
D 32 m32\,\text{m}
Vận dụng
Câu 40. Giả sử lợi nhuận biên (triệu đồng) khi bán xe đạp điện của một doanh nghiệp được mô hình hoá bởi P′(x)=−0,01x+10P'(x) = -0{,}01x + 10, trong đó P(x)P(x) là lợi nhuận (triệu đồng) khi bán được xx chiếc xe đạp điện. Khi chưa bán được chiếc xe đạp điện nào, lợi nhuận bằng 00. Tính sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100100 lên 400400 chiếc xe đạp điện.
A 2550 triệu đoˆˋng2550\ \text{triệu đồng}
B 3200 triệu đoˆˋng3200\ \text{triệu đồng}
C 2250 triệu đoˆˋng2250\ \text{triệu đồng}
D 2700 triệu đoˆˋng2700\ \text{triệu đồng}
Thông hiểu
Câu 41. Giả sử lợi nhuận biên (triệu đồng) khi bán sản phẩm của một doanh nghiệp được mô hình hoá bởi P′(x)=−0,04x+12P'(x) = -0{,}04x + 12, trong đó P(x)P(x) là lợi nhuận (triệu đồng) khi bán được xx sản phẩm. Khi chưa bán được sản phẩm nào, lợi nhuận bằng 00. Tính lợi nhuận khi bán được 9090 sản phẩm.
A 1242 triệu đoˆˋng1242\ \text{triệu đồng}
B 1080 triệu đoˆˋng1080\ \text{triệu đồng}
C 918 triệu đoˆˋng918\ \text{triệu đồng}
D 1404 triệu đoˆˋng1404\ \text{triệu đồng}
Vận dụng
Câu 42. Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t)=4t−4v(t) = 4t - 4 (m/s), trong đó tt tính bằng giây. Tính quãng đường chất điểm đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc nó đổi chiều chuyển động.
A 4 m4\,\text{m}
B 18 m18\,\text{m}
C 20 m20\,\text{m}
D 2 m2\,\text{m}

Câu đúng / sai 2 câu

Vận dụng
Câu 43. Một hồ điều hoà ban đầu có 300 m3300\ \text{m}^{3} nước. Trong một trận mưa, nước từ các cống dồn vào hồ với tốc độ v1(t)=4t+40v_1(t) = 4t + 40 (m³/giờ); cùng lúc đó, hồ xả nước qua trạm bơm với tốc độ v2(t)=9tv_2(t) = 9t (m³/giờ), trong đó tt là thời gian tính bằng giờ kể từ lúc bắt đầu.
a) Tại thời điểm t=12t = 12, trong hồ có 420 m3420\ \text{m}^{3} nước.
b) Lượng nước trong hồ lớn nhất bằng 620 m3620\ \text{m}^{3}, đạt tại thời điểm t=8t = 8.
c) Nếu hồ chỉ chứa được tối đa 410 m3410\ \text{m}^{3} thì nước không bao giờ tràn ra ngoài.
d) Sau 88 giờ kể từ lúc bắt đầu, lượng nước trong hồ trở lại bằng lượng ban đầu.
Vận dụng
Câu 44. Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t)=3t−3v(t) = 3t - 3 (m/s), trong đó tt tính bằng giây.
a) Chất điểm chuyển động thẳng đều.
b) Chất điểm đổi chiều chuyển động tại thời điểm t=3t = 3 giây.
c) Độ dịch chuyển của chất điểm trong 55 giây đầu bằng 22,522{,}5 m.
d) Quãng đường chất điểm đi được trong 55 giây đầu bằng 25,525{,}5 m.

Trả lời ngắn 5 câu

Vận dụng
Câu 45. Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t)=3t−3v(t) = 3t - 3 (m/s), trong đó tt tính bằng giây. Tính độ dịch chuyển (mét) của chất điểm trong 44 giây đầu tiên.
Vận dụng
Câu 46. Giả sử lợi nhuận biên (triệu đồng) khi bán máy lọc nước của một doanh nghiệp được mô hình hoá bởi P′(x)=−0,01x+8P'(x) = -0{,}01x + 8, trong đó P(x)P(x) là lợi nhuận (triệu đồng) khi bán được xx chiếc máy lọc nước. Khi chưa bán được chiếc máy lọc nước nào, lợi nhuận bằng 00. Biết rằng khi doanh số tăng từ 240240 lên mm chiếc máy lọc nước (m∈N∗)\left(m \in \mathbb{N}^*\right) thì lợi nhuận tăng thêm hơn 919919 triệu đồng. Tìm giá trị nhỏ nhất của mm.
Vận dụng cao
Câu 47. Một bể chứa nước thô nhận nước từ tuyến bơm cấp. Trong ca làm việc 0≤t≤160 \le t \le 16 (giờ), cảm biến ghi lưu lượng vào qv(t)q_v\left(t\right) (m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}) bằng hai công thức:
qv(t)=7t+74q_v\left(t\right) = 7t + 74 khi 0≤t≤50 \le t \le 5, và qv(t)=4t−1q_v\left(t\right) = 4t - 1 khi 10≤t≤1610 \le t \le 16.
Trong khoảng 5<t<105 < t < 10 cảm biến mất dữ liệu. Quy ước vận hành: lấy nội suy tuyến tính giữa hai số đọc tốt ở hai đầu khoảng trống, tức giữa qv(5)=109q_v\left(5\right) = 109 và qv(10)=39q_v\left(10\right) = 39.
Lịch xả có hai giai đoạn: qx(t)=69q_x\left(t\right) = 69 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ} khi 0≤t≤110 \le t \le 11, và qx(t)=42q_x\left(t\right) = 42 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ} khi 11<t≤1611 < t \le 16.
Khoảngqv(t)q_v\left(t\right)qx(t)q_x\left(t\right)
[0;5]\left[0; 5\right]7t+747t + 746969
(5;10)\left(5; 10\right)nội suy tuyến tính6969
[10;11]\left[10; 11\right]4t−14t - 16969
(11;16]\left(11; 16\right]4t−14t - 14242

Đầu ca bể chứa V0=3100V_0 = 3100 m3\text{m}^3; mức chứa phải không vượt ngưỡng an toàn Vat=3217V_{\text{at}} = 3217 m3\text{m}^3 trong suốt ca. Chỉ được xả bớt một lần duy nhất ngay trước t=0t = 0, và lượng xả phải là bội của 5050 m3\text{m}^3; sau đó bể chạy đúng lịch xả trên, không can thiệp thêm.
Hỏi lượng xả nhỏ nhất (bội của 5050) phải xả ngay trước t=0t = 0 là bao nhiêu m3\text{m}^3?
Thông hiểu
Câu 48. Trong một bể nuôi cá cảnh vừa thay nước, số vi khuẩn trong mỗi mililít nước tăng với tốc độ f(t)=900(1+0,25t)2f(t) = \dfrac{900}{\left(1 + 0{,}25t\right)^2} (con/ngày), t≥0t \ge 0, trong đó tt là số ngày kể từ lúc bắt đầu theo dõi. Lúc bắt đầu theo dõi, mỗi mililít nước của bể có 400400 con vi khuẩn. Gọi N(t)N(t) là số vi khuẩn trong mỗi mililít nước của bể sau tt ngày. Tính số vi khuẩn sau 44 ngày.
Vận dụng cao
Câu 49. Một trạm cấp nước theo dõi lưu lượng nước trong khoảng thời gian t∈[3;11]t \in \left[3; 11\right] (giờ). Đồng hồ tại chỗ chỉ lưu lượng theo công thức
qđo(t)=135t2−13t+2365q_{\text{đo}}\left(t\right) = \dfrac{13}{5}t^{2} - 13t + \dfrac{236}{5} (m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}),
nhưng đồng hồ bị lệch tuyến tính: qđo=a qthật+bq_{\text{đo}} = a\,q_{\text{thật}} + b với a>0a > 0; hai hằng số aa, bb chưa biết.
Hai dữ kiện hiệu chuẩn: tại thời điểm t0=9t_0 = 9 giờ, thiết bị chuẩn đo được lưu lượng thật là 108108 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}; và tổng thể tích nước thật chảy qua trong cả khoảng [3;11]\left[3; 11\right] là 597,33597{,}33 m3\text{m}^3 (do bể chuẩn cân đo).
Hỏi thể tích nước thật chảy qua trong khoảng [5;7]\left[5; 7\right] bằng bao nhiêu m3\text{m}^3?

Tự luận 5 câu

Vận dụng
Câu 50. Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số Q′(t)=4t3−84t2+392tQ'(t) = 4t^{3} - 84t^{2} + 392t, trong đó tt tính bằng giờ kể từ lúc mở cửa (0≤t≤17)\left(0 \le t \le 17\right) và Q′(t)Q'(t) tính bằng người/giờ. Tại thời điểm t=1t = 1 đã có 279279 người có mặt ở khu di tích. Gọi Q(t)Q(t) là số người có mặt ở khu di tích tại thời điểm tt.
Vận dụng cao
Câu 51. Một hồ điều hoà nhận nước từ một tuyến kênh dẫn. Trong ca làm việc 0≤t≤130 \le t \le 13 (giờ), cảm biến ghi lưu lượng vào qv(t)q_v\left(t\right) (m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}) bằng hai công thức:
qv(t)=2t+109q_v\left(t\right) = 2t + 109 khi 0≤t≤40 \le t \le 4, và qv(t)=2t+23q_v\left(t\right) = 2t + 23 khi 7≤t≤137 \le t \le 13.
Trong khoảng 4<t<74 < t < 7 cảm biến mất dữ liệu. Quy ước vận hành: lấy nội suy tuyến tính giữa hai số đọc tốt ở hai đầu khoảng trống, tức giữa qv(4)=117q_v\left(4\right) = 117 và qv(7)=37q_v\left(7\right) = 37.
Lịch xả có hai giai đoạn: qx(t)=61q_x\left(t\right) = 61 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ} khi 0≤t≤80 \le t \le 8, và qx(t)=38q_x\left(t\right) = 38 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ} khi 8<t≤138 < t \le 13.
Khoảngqv(t)q_v\left(t\right)qx(t)q_x\left(t\right)
[0;4]\left[0; 4\right]2t+1092t + 1096161
(4;7)\left(4; 7\right)nội suy tuyến tính6161
[7;8]\left[7; 8\right]2t+232t + 236161
(8;13]\left(8; 13\right]2t+232t + 233838

Đầu ca hồ chứa V0=3900V_0 = 3900 m3\text{m}^3; mức chứa phải không vượt ngưỡng an toàn Vat=4115V_{\text{at}} = 4115 m3\text{m}^3 trong suốt ca. Chỉ được xả bớt một lần duy nhất ngay trước t=0t = 0, và lượng xả phải là bội của 5050 m3\text{m}^3; sau đó hồ chạy đúng lịch xả trên, không can thiệp thêm.
Vận dụng cao
Câu 52. Một trạm bơm dầu theo dõi lưu lượng dầu trong khoảng thời gian t∈[1;5]t \in \left[1; 5\right] (giờ). Đồng hồ tại chỗ chỉ lưu lượng theo công thức
qđo(t)=−335t2+335t+9135q_{\text{đo}}\left(t\right) = -\dfrac{33}{5}t^{2} + \dfrac{33}{5}t + \dfrac{913}{5} (m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}),
nhưng đồng hồ bị lệch tuyến tính: qđo=a qthật+bq_{\text{đo}} = a\,q_{\text{thật}} + b với a>0a > 0; hai hằng số aa, bb chưa biết.
Hai dữ kiện hiệu chuẩn: tại thời điểm t0=1t_0 = 1 giờ, thiết bị chuẩn đo được lưu lượng thật là 8484 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}; và tổng thể tích dầu thật chảy qua trong cả khoảng [1;5]\left[1; 5\right] là 248248 m3\text{m}^3 (do bể chuẩn cân đo).
Vận dụng
Câu 53. Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t)=3t−3v(t) = 3t - 3 (m/s), trong đó tt tính bằng giây. Tính quãng đường (mét) chất điểm đi được trong 44 giây đầu tiên.
Thông hiểu
Câu 54. F′(t)=f(t), F(0)=29. Đồ thị f là hai đoạn ngang: f(t)=5 khi 0<t<2 và f(t)=−1 khi 2<t<3. F(3) bằng bao nhiêu? Trình bày lập luận và các bước tính.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 17 câu

Bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng — Toán lớp 12: 17 câu từ thông hiểu đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 4 câu

Thông hiểu
Câu 55. Mặt tiền của một nhà vòm trồng rau là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và mặt đất. Hai chân mặt tiền cách nhau 7,57{,}5 m, đỉnh vòm cao 3,53{,}5 m so với mặt đất. Phần mặt tiền ở độ cao từ 2,942{,}94 m trở lên được lợp tấm nhựa lấy sáng giá 9090 nghìn đồng/m², phần bên dưới được lợp tôn giá 160160 nghìn đồng/m². Diện tích mặt tiền của nhà vòm bằng bao nhiêu mét vuông?
A 26,3 m226{,}3\,\text{m}^{2}
B 8,8 m28{,}8\,\text{m}^{2}
C 13,1 m213{,}1\,\text{m}^{2}
D 17,5 m217{,}5\,\text{m}^{2}
Vận dụng
Câu 56. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2−2x+1y = x^{2} - 2x + 1 và đường thẳng y=9y = 9.
A 3636
B 108108
C 5454
D 1818
Vận dụng
Câu 57. Cổng một trường học có mặt trước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và mặt đất. Hai chân cổng cách nhau 44 m, đỉnh cổng cao 66 m so với mặt đất. Ở chính giữa cổng có một lối đi hình chữ nhật rộng 22 m, cạnh dưới nằm trên mặt đất, hai đỉnh phía trên nằm trên parabol. Hai cánh cửa che kín lối đi có giá 18001800 nghìn đồng/m², phần mặt cổng còn lại được ốp đá với giá 500500 nghìn đồng/m². Diện tích phần ốp đá bằng bao nhiêu mét vuông?
A 12 m212\,\text{m}^{2}
B 16 m216\,\text{m}^{2}
C 3 m23\,\text{m}^{2}
D 7 m27\,\text{m}^{2}
Vận dụng
Câu 58. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=2(x−1)(7−x)y = 2\left(x - 1\right)\left(7 - x\right) và trục hoành.
A 7272
B 144144
C 1212
D 216216

Câu đúng / sai 2 câu

Vận dụng
Câu 59. Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=2x(2−x)y = 2x\left(2 - x\right) và trục hoành.
a) Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ 00 và −2-2.
b) Trên khoảng (0;2)\left(0; 2\right) đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
c) Khoảng cách giữa hai hoành độ giao điểm bằng 22.
d) Diện tích ấy bằng 83\dfrac{8}{3}.
Vận dụng
Câu 60. Mặt trước của một nhà kho là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và mặt đất. Hai chân tường mặt trước cách nhau 1212 m, nóc nhà kho cao 1010 m so với mặt đất. Ở chính giữa mặt trước có một cửa ra vào hình chữ nhật rộng 66 m, cạnh dưới nằm trên mặt đất, hai đỉnh phía trên nằm trên parabol. Cửa ra vào làm bằng thép với giá 10501050 nghìn đồng/m², phần còn lại của mặt trước được lắp kính với giá 350350 nghìn đồng/m². Chọn hệ trục OxyOxy có gốc OO là trung điểm của đoạn nối hai chân tường mặt trước, trục OxOx nằm trên mặt đất, trục OyOy đi qua nóc nhà kho, đơn vị trên mỗi trục là mét.
a) Diện tích mặt trước của nhà kho bằng 8080 m².
b) Cửa ra vào cao 2,52{,}5 m.
c) Diện tích phần lắp kính bằng 6565 m².
d) Diện tích cửa ra vào bằng 1515 m².

Trả lời ngắn 6 câu

Thông hiểu
Câu 61. Đồ thị hàm số y=2(x+1)(5−x)y = 2\left(x + 1\right)\left(5 - x\right) cắt trục hoành tại hai điểm. Tính hoành độ lớn hơn trong hai hoành độ ấy.
Vận dụng
Câu 62. Hai đồ thị y=2∣x−4∣−4y=2|x - 4| - 4 và y=5(x−4)2−4y=5(x - 4)^2 - 4 giới hạn các miền hữu hạn. Tính tổng diện tích, làm tròn đến hai chữ số thập phân.
Vận dụng cao
Câu 63. Một mặt cắt lớp phủ có hai đường: biên trên lớp phủ là đồ thị của
fλ(x)=−2x3+(11+2λ)x2+(−5−12λ)x−4f_\lambda\left(x\right) = -2x^{3} + \left(11 + 2\lambda\right)x^2 + \left(-5 - 12\lambda\right)x - 4,
còn biên dưới lớp phủ là đồ thị của g(x)=−x2−5x−4g\left(x\right) = -x^{2} - 5x - 4; ở đây λ\lambda là một số nguyên chưa biết thoả 1≤λ≤51 \le \lambda \le 5.
Hai đường cắt nhau tại x=0x = 0 và x=6x = 6 với mọi λ\lambda, và trong khoảng giữa còn đúng một giao điểm nữa.
Ngoài ra một phép đo cho ∫06[fλ(x)−g(x)]dx≈0\displaystyle\int_{0}^{6}\left[f_\lambda\left(x\right) - g\left(x\right)\right]\mathrm{d}x \approx 0 (đã làm tròn đến hai chữ số thập phân); trong miền trên chỉ đúng một λ\lambda cho giá trị ấy.
Tính tổng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên [0;6]\left[0; 6\right].
Vận dụng
Câu 64. Mặt trước một cửa hàng có ô cửa kính gồm phần dưới là hình chữ nhật rộng 66 m, cao 22 m và phần trên là một vòm parabol nối hai đỉnh phía trên của hình chữ nhật; đỉnh vòm nằm trên trục đối xứng của ô cửa và cao hơn cạnh trên của hình chữ nhật 0,60{,}6 m. Kính ở phần hình chữ nhật có giá 550550 nghìn đồng/m², kính màu ở phần vòm có giá 16501650 nghìn đồng/m². Diện tích phần vòm chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích ô cửa? (làm tròn đến hàng phần mười).
Vận dụng
Câu 65. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=3x(2−x)y = 3x\left(2 - x\right) và trục hoành.
Thông hiểu
Câu 66. Mặt trước của một nhà kho là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và mặt đất. Hai chân tường mặt trước cách nhau 1313 m, nóc nhà kho cao 1212 m so với mặt đất. Ở chính giữa mặt trước có một cửa ra vào hình chữ nhật rộng 6,56{,}5 m, cạnh dưới nằm trên mặt đất, hai đỉnh phía trên nằm trên parabol. Cửa ra vào làm bằng thép với giá 700700 nghìn đồng/m², phần còn lại của mặt trước được lắp kính với giá 450450 nghìn đồng/m². Diện tích mặt trước của nhà kho bằng bao nhiêu mét vuông?

Tự luận 5 câu

Vận dụng
Câu 67. Bác Vinh làm một cánh cổng sắt gồm phần dưới là hình chữ nhật rộng 66 m, cao 2,42{,}4 m và phần trên là một vòm parabol nối hai đỉnh phía trên của hình chữ nhật; đỉnh vòm nằm trên trục đối xứng của cánh cổng và cao hơn cạnh trên của hình chữ nhật 11 m. Phần hình chữ nhật có giá 13001300 nghìn đồng/m², phần vòm làm hoa văn có giá 11501150 nghìn đồng/m². Chọn hệ trục OxyOxy có gốc OO là trung điểm của cạnh dưới của cánh cổng, trục OxOx chứa cạnh ấy, trục OyOy đi qua đỉnh vòm, đơn vị trên mỗi trục là mét.
Vận dụng
Câu 68. Hai đồ thị y=6∣x+2∣+5y=6|x + 2| + 5 và y=3(x+2)2+5y=3(x + 2)^2 + 5 giới hạn các miền hữu hạn.
Vận dụng cao
Câu 69. Một biểu đồ hai đường công suất có hai đường: đường máy A là đồ thị của
fλ(x)=−x3+(7+λ)x2+(−6−9λ)x+(3+14λ)f_\lambda\left(x\right) = -x^{3} + \left(7 + \lambda\right)x^2 + \left(-6 - 9\lambda\right)x + \left(3 + 14\lambda\right),
còn đường máy B là đồ thị của g(x)=−2x2+8x+3g\left(x\right) = -2x^{2} + 8x + 3; ở đây λ\lambda là một số nguyên chưa biết thoả 3≤λ≤63 \le \lambda \le 6.
Hai đường cắt nhau tại x=2x = 2 và x=7x = 7 với mọi λ\lambda, và trong khoảng giữa còn đúng một giao điểm nữa.
Ngoài ra một phép đo cho ∫27[fλ(x)−g(x)]dx≈−10,42\displaystyle\int_{2}^{7}\left[f_\lambda\left(x\right) - g\left(x\right)\right]\mathrm{d}x \approx -10{,}42 (đã làm tròn đến hai chữ số thập phân); trong miền trên chỉ đúng một λ\lambda cho giá trị ấy.
Vận dụng
Câu 70. Cho parabol (P):y=x2−6x+9(P): y=x^{2} - 6x + 9 và đường thẳng d:y=16d: y=16.
Vận dụng
Câu 71. Cho hàm số y=4(x−2)(8−x)y = 4\left(x - 2\right)\left(8 - x\right).

Tính nguyên hàm trong các trường hợp đơn giản bằng biến đổi đại số và công thức cơ bản 9 câu

Bài tập tính nguyên hàm trong các trường hợp đơn giản bằng biến đổi đại số và công thức cơ bản — Toán lớp 12: 9 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 72. Cho hàm số f(x)=−6(2x+1)2f(x) = -6\left(2x + 1\right)^{2}. Biết F(x)=−(2x+1)3+CF(x) = -\left(2x + 1\right)^{3} + C là một nguyên hàm của f(x)f(x) và F(1)=−25F(1) = -25. Giá trị của CC bằng:
A 22
B −52-52
C 2929
D −25-25
Thông hiểu
Câu 73. Cho hàm số f(x)=−9(3x+5)2f(x) = -9\left(3x + 5\right)^{2} và F(x)F(x) là nguyên hàm của f(x)f(x) thỏa mãn F(−1)=−13F(-1) = -13. Giá trị F(−2)F(-2) bằng:
A −4-4
B −12-12
C 11
D 66
Vận dụng
Câu 74. Hàm FF có đạo hàm F′(x)=5∣x+5∣F'(x)=5|x + 5| tại mọi x∈Rx\in\mathbb R, thỏa F(−7)=6F(-7)=6. Giá trị chính xác F(−1)F(-1) bằng bao nhiêu?
A 5656
B −44-44
C 4646
D 3636

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 75. Cho hàm số f(x)=9(3x−4)2f(x) = 9\left(3x - 4\right)^{2} và F(x)F(x) là một nguyên hàm của f(x)f(x) thỏa mãn F(1)=8F(1) = 8.
a) ∫f(x) dx=3(3x−4)3+C\int f(x)\,dx = 3\left(3x - 4\right)^{3} + C.
b) f(1)=9f(1) = 9.
c) F(2)=16F(2) = 16.
d) Giá trị ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x)\,dx thay đổi khi chọn hằng số CC khác.

Trả lời ngắn 2 câu

Nhận biết
Câu 76. Cho hàm số f(x)=−6(2x+2)2f(x) = -6\left(2x + 2\right)^{2}. Biết F(x)=−(2x+2)3+CF(x) = -\left(2x + 2\right)^{3} + C là một nguyên hàm của f(x)f(x) và F(0)=−5F(0) = -5. Tính CC.
Thông hiểu
Câu 77. Cho hàm số f(x)=−6(2x−1)2f(x) = -6\left(2x - 1\right)^{2} và F(x)F(x) là nguyên hàm của f(x)f(x) thỏa mãn F(−1)=20F(-1) = 20. Tính F(1)F(1) (trả lời kèm dấu).

Tự luận 3 câu

Nhận biết
Câu 78. Cho hàm số f(x)=12(3x−5)3f(x) = 12\left(3x - 5\right)^{3}. Biết F(x)=(3x−5)4+CF(x) = \left(3x - 5\right)^{4} + C là một nguyên hàm của f(x)f(x) và F(2)=−3F(2) = -3. Tính CC.
Thông hiểu
Câu 79. Cho hàm số f(x)=9x2+8xf(x) = 9x^{2} + 8x và F(x)F(x) là nguyên hàm của f(x)f(x) thỏa mãn F(1)=12F(1) = 12. Tính F(−2)F(-2).
Vận dụng
Câu 80. Hàm FF có đạo hàm F′(x)=∣x−6∣F'(x)=|x - 6| tại mọi x∈Rx\in\mathbb R, thỏa F(1)=−4F(1)=-4. Tìm FF và tính F(11)F(11). Kiểm tra đạo hàm tại x=6x=6, nơi biểu thức trị tuyệt đối đổi nhánh.

Tính tích phân trong các trường hợp đơn giản 12 câu

Bài tập tính tích phân trong các trường hợp đơn giản — Toán lớp 12: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 81. Cho f(x)=x4f(x) = x^{4}. Tính ∫05x4 dx\int_{0}^{5} x^{4}\,dx.
A 31253125
B 31254\dfrac{3125}{4}
C 625625
D −625-625
Thông hiểu
Câu 82. Cho f(x)=x6f(x) = x^{6}. Tính giá trị trung bình của ff trên [0;4]\left[0; 4\right].
A 163847\dfrac{16384}{7}
B 40967\dfrac{4096}{7}
C −40967-\dfrac{4096}{7}
D 655367\dfrac{65536}{7}
Vận dụng
Câu 83. Cho f(x)=x7f(x) = x^{7}. Tính ∫01[f′(x)]2 dx\int_{0}^{1} [f'(x)]^2\,dx.
A 713\dfrac{7}{13}
B 4913\dfrac{49}{13}
C 115\dfrac{1}{15}
D −4913-\dfrac{49}{13}

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 84. Cho f(x)=x7f(x) = x^{7}.
a) ff là hàm số lẻ.
b) ∫03x⋅x7 dx=65618\int_{0}^{3} x \cdot x^{7}\,dx = \dfrac{6561}{8}
c) ∫03[f′(x)]2 dx=7812182713\int_{0}^{3} [f'(x)]^2\,dx = \dfrac{78121827}{13}
d) Giá trị trung bình của ff trên [0;3]\left[0; 3\right] bằng 21878\dfrac{2187}{8}

Trả lời ngắn 4 câu

Nhận biết
Câu 85. Cho f(x)=x2f(x) = x^{2}. Tính ∫06x2 dx\int_{0}^{6} x^{2}\,dx.
Vận dụng
Câu 86. Cho f(x)=x6f(x) = x^{6}. Tính ∫01[f′(x)]2 dx\int_{0}^{1} [f'(x)]^2\,dx (làm tròn đến hàng phần trăm).
Vận dụng cao
Câu 87. Một trạm sạc pin công nghiệp có công suất sạc thay đổi theo thời gian tt (giờ) như sau: từ lúc t=0t = 0, công suất sạc tăng đều theo r(t)=55+3tr\left(t\right) = 55 + 3t (kW\text{kW}); từ một thời điểm chuyển τ\tau trở đi, công suất sạc giảm đều với tốc độ giảm 44 kW\text{kW} mỗi giờ, và không có bước nhảy tại τ\tau.
Quá trình kéo dài tới T=22T = 22 giờ. Thời điểm chuyển τ\tau là một số nguyên thoả 5≤τ≤195 \le \tau \le 19, nhưng bản ghi đã mất.
Hai đồng hồ tích luỹ đặt độc lập, mỗi cái cộng dồn trên một cửa sổ thời gian riêng (hai cửa sổ chồng lấn nhau), và báo:
Cửa sổTổng đã ghi
[0;21]\left[0; 21\right]16001600 kWh\text{kWh}
[8;22]\left[8; 22\right]10001000 kWh\text{kWh}

Cả hai số đều đã làm tròn đến bội gần nhất của 200200 kWh\text{kWh}.
Tìm thời điểm chuyển τ\tau (theo giờ).
Thông hiểu
Câu 88. Cho f(x)=x7f(x) = x^{7}. Tính F(2)F(2), biết F′=fF' = f và F(0)=8F(0) = 8.

Tự luận 4 câu

Thông hiểu
Câu 89. Cho f(x)=x6f(x) = x^{6}. Tính ∫04x⋅x6 dx\int_{0}^{4} x \cdot x^{6}\,dx.
Vận dụng
Câu 90. Cho f(x)=x2f(x) = x^{2}. Tính ∫05[x2]2 dx\int_{0}^{5} [x^{2}]^2\,dx.
Vận dụng cao
Câu 91. Một hệ tưới tự động có lưu lượng tưới thay đổi theo thời gian tt (giờ) như sau: từ lúc t=0t = 0, lưu lượng tưới tăng đều theo r(t)=47+5tr\left(t\right) = 47 + 5t (m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ}); từ một thời điểm chuyển τ\tau trở đi, lưu lượng tưới giảm đều với tốc độ giảm 33 m3/giờ\text{m}^3/\text{giờ} mỗi giờ, và không có bước nhảy tại τ\tau.
Quá trình kéo dài tới T=19T = 19 giờ. Thời điểm chuyển τ\tau là một số nguyên thoả 3≤τ≤173 \le \tau \le 17, nhưng bản ghi đã mất.
Hai đồng hồ tích luỹ đặt độc lập, mỗi cái cộng dồn trên một cửa sổ thời gian riêng (hai cửa sổ chồng lấn nhau), và báo:
Cửa sổTổng đã ghi
[0;18]\left[0; 18\right]15001500 m3\text{m}^3
[10;19]\left[10; 19\right]800800 m3\text{m}^3

Cả hai số đều đã làm tròn đến bội gần nhất của 100100 m3\text{m}^3.
Lập biểu thức của hai tổng theo τ\tau (nhớ xét đủ các trường hợp vị trí của τ\tau so với hai mốc cửa sổ), rồi tìm τ\tau và kiểm lại cả hai số đã ghi.
Nhận biết
Câu 92. Cho f(x)=x7f(x) = x^{7}. Tính ∫01x7 dx\int_{0}^{1} x^{7}\,dx (làm tròn đến hàng phần trăm).

Khái niệm và các tính chất của tích phân xác định 16 câu

Bài tập khái niệm và các tính chất của tích phân xác định — Toán lớp 12: 16 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 5 câu

Nhận biết
Câu 93. Giá trị ∫44f(x) dx\int_{4}^{4} f(x)\,dx bằng
A f(4)f(4)
B 00
C 44
D 11
Thông hiểu
Câu 94. Biết ∫25f(x) dx=2\int_{2}^{5} f(x)\,dx = 2 và ∫25g(x) dx=−5\int_{2}^{5} g(x)\,dx = -5. Giá trị ∫25[4f(x)+g(x)] dx\int_{2}^{5} [4f(x) + g(x)]\,dx bằng
A −3-3
B −12-12
C 1313
D 33
Vận dụng
Câu 95. Hàm ff liên tục trên R\mathbb{R} và tuần hoàn với chu kì 77. Biết ∫07f(x) dx=5\int_{0}^{7} f(x)\,dx = 5. Tính ∫−424f(x) dx\int_{-4}^{24} f(x)\,dx.
A 140140
B 55
C 1515
D 2020
Vận dụng cao
Câu 96. Hàm ff liên tục và dương nghiêm ngặt trên [0;3][0;3]. Giá trị I=∫03f(x)f(x)+f(3−x) dxI=\int_0^{3}\dfrac{f(x)}{f(x)+f(3-x)}\,dx bằng bao nhiêu?
A 32\dfrac{3}{2}
B 66
C 33
D 11
Vận dụng
Câu 97. Không cần tìm nguyên hàm của phân thức. Giá trị I=∫02exex+e(2−x) dxI=\int_0^{2}\dfrac{e^{x}}{e^{x}+e^{(2-x)}}\,dx bằng bao nhiêu?
A 44
B 11
C 23\dfrac{2}{3}
D 22

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 98. Cho ∫24f(x) dx=7\int_{2}^{4} f(x)\,dx = 7, ∫47f(x) dx=8\int_{4}^{7} f(x)\,dx = 8 và ∫24g(x) dx=7\int_{2}^{4} g(x)\,dx = 7.
a) ∫44f(x) dx=0\int_{4}^{4} f(x)\,dx = 0.
b) ∫42f(x) dx=−7\int_{4}^{2} f(x)\,dx = -7.
c) Nếu ff là hàm lẻ thì tích phân trên đoạn đối xứng bằng không.
d) Tích phân của tích hai hàm bằng tích hai tích phân.
Vận dụng cao
Câu 99. Một trạm quan trắc lưu lượng ghi sổ các tích phân của hàm f(x)f\left(x\right) (lưu lượng dòng chính) trên những đoạn có chung đầu mút, với các mốc x0=1x_{0} = 1, x1=5x_{1} = 5, x2=7x_{2} = 7, x3=11x_{3} = 11, x4=15x_{4} = 15. Một vài bản ghi được ghi theo cận đảo, một vài bản ghi khác chỉ ghi tích phân của một tổ hợp f(x)f\left(x\right) với g(x)g\left(x\right) (lưu lượng dòng nhánh) — khi đó tích phân của g(x)g\left(x\right) trên đúng cặp cận ấy được ghi kèm.
Bản ghiNội dungSố đã ghiDữ liệu kèm
(1)(1)∫15(4f(x)+g(x)) dx\int_{1}^{5} \left(4f\left(x\right) + g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x−10-10∫15g(x) dx=6\int_{1}^{5} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 6
(2)(2)∫111f(x) dx\int_{1}^{11} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x1111—
(3)(3)∫151f(x) dx\int_{15}^{1} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x−5-5—
(4)(4)∫75f(x) dx\int_{7}^{5} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x−8-8—
(5)(5)∫511(3f(x)−2g(x)) dx\int_{5}^{11} \left(3f\left(x\right) - 2g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x2828∫511g(x) dx=7\int_{5}^{11} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 7
(6)(6)∫515f(x) dx\int_{5}^{15} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x99—
(7)(7)∫711f(x) dx\int_{7}^{11} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x66—

Biết đúng một bản ghi bị ghi sai số (mọi cận và mọi hệ số đều đúng), và các bản ghi còn lại đều chính xác. Hàm f(x)f\left(x\right) không được cho tường minh.
Xét các khẳng định sau.
a) Bản ghi bị ghi sai là bản ghi (1)(1).
b) Bản ghi bị ghi sai ấy đúng ra phải ghi số 1212.
c) ∫715f(x) dx=1\int_{7}^{15} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 1.
d) Nếu biết thêm ∫111g(x) dx=7\int_{1}^{11} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 7 thì ∫111(4f(x)+g(x)) dx=−47\int_{11}^{1} \left(4f\left(x\right) + g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x = -47.

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết
Câu 100. Biết ∫05f(x) dx=7\int_{0}^{5} f(x)\,dx = 7 và ∫57f(x) dx=−6\int_{5}^{7} f(x)\,dx = -6. Tính ∫07f(x) dx\int_{0}^{7} f(x)\,dx.
Thông hiểu
Câu 101. Biết ∫04f(x) dx=−9\int_{0}^{4} f(x)\,dx = -9 và ∫04g(x) dx=−3\int_{0}^{4} g(x)\,dx = -3. Tính ∫04[2f(x)+g(x)] dx\int_{0}^{4} [2f(x) + g(x)]\,dx (trả lời kèm dấu).
Vận dụng
Câu 102. Hàm ff liên tục trên R\mathbb{R} và tuần hoàn với chu kì 77. Biết ∫07f(x) dx=−9\int_{0}^{7} f(x)\,dx = -9. Tính ∫−431f(x) dx\int_{-4}^{31} f(x)\,dx (trả lời kèm dấu).

Tự luận 6 câu

Thông hiểu
Câu 103. Biết ∫15f(x) dx=−5\int_{1}^{5} f(x)\,dx = -5 và ∫15g(x) dx=−5\int_{1}^{5} g(x)\,dx = -5. Tính ∫15[5f(x)+g(x)] dx\int_{1}^{5} [5f(x) + g(x)]\,dx.
Vận dụng
Câu 104. Hàm ff liên tục trên R\mathbb{R} và tuần hoàn với chu kì 77. Biết ∫07f(x) dx=−5\int_{0}^{7} f(x)\,dx = -5. Tính ∫662f(x) dx\int_{6}^{62} f(x)\,dx.
Vận dụng cao
Câu 105. Một trạm quan trắc lưu lượng ghi sổ các tích phân của hàm f(x)f\left(x\right) (lưu lượng dòng chính) trên những đoạn có chung đầu mút, với các mốc x0=1x_{0} = 1, x1=2x_{1} = 2, x2=3x_{2} = 3, x3=7x_{3} = 7, x4=8x_{4} = 8. Một vài bản ghi được ghi theo cận đảo, một vài bản ghi khác chỉ ghi tích phân của một tổ hợp f(x)f\left(x\right) với g(x)g\left(x\right) (lưu lượng dòng nhánh) — khi đó tích phân của g(x)g\left(x\right) trên đúng cặp cận ấy được ghi kèm.
Bản ghiNội dungSố đã ghiDữ liệu kèm
(1)(1)∫12(2f(x)−2g(x)) dx\int_{1}^{2} \left(2f\left(x\right) - 2g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x22∫12g(x) dx=5\int_{1}^{2} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 5
(2)(2)∫71f(x) dx\int_{7}^{1} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x−15-15—
(3)(3)∫18f(x) dx\int_{1}^{8} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x2424—
(4)(4)∫23(2f(x)−g(x)) dx\int_{2}^{3} \left(2f\left(x\right) - g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x1515∫23g(x) dx=−9\int_{2}^{3} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = -9
(5)(5)∫28f(x) dx\int_{2}^{8} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x1818—
(6)(6)∫37(3f(x)−2g(x)) dx\int_{3}^{7} \left(3f\left(x\right) - 2g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x66∫37g(x) dx=6\int_{3}^{7} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 6
(7)(7)∫87f(x) dx\int_{8}^{7} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x−6-6—

Biết đúng một bản ghi bị ghi sai số (mọi cận và mọi hệ số đều đúng), và các bản ghi còn lại đều chính xác. Hàm f(x)f\left(x\right) không được cho tường minh.
Quy mọi bản ghi về tích phân của f(x)f\left(x\right) theo chiều tăng, chỉ ra bản ghi bị ghi sai và số đúng ra phải ghi, rồi tính ∫27f(x) dx\int_{2}^{7} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x.
Nhận biết
Câu 106. Biết ∫24f(x) dx=−6\int_{2}^{4} f(x)\,dx = -6 và ∫46f(x) dx=6\int_{4}^{6} f(x)\,dx = 6. Tính ∫26f(x) dx\int_{2}^{6} f(x)\,dx.
Vận dụng
Câu 107. Hàm ff liên tục trên [0;4][0;4], biết ∫04f(x) dx=1\int_0^{4}f(x)\,dx=1. Tính I=∫04[f(x)+f(4−x)] dxI=\int_0^{4}[f(x)+f(4-x)]\,dx bằng đổi biến phản xạ. Giải thích vì sao các phép đổi biến và cộng tích phân hợp lệ.
Vận dụng cao
Câu 108. Hàm ff liên tục và dương nghiêm ngặt trên [0;6][0;6]. Chứng minh I=∫06f(x)f(x)+f(6−x) dxI=\int_0^{6}\dfrac{f(x)}{f(x)+f(6-x)}\,dx không phụ thuộc cách chọn ff. Tính II và áp dụng để tính ∫06e3xe3x+e3(6−x) dx\int_0^{6}\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^{3(6-x)}}\,dx mà không tìm nguyên hàm.

Công thức Newton-Leibniz 13 câu

Bài tập công thức newton-leibniz — Toán lớp 12: 13 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 5 câu

Nhận biết
Câu 109. Tính ∫02(3x2+2x+2) dx\int_{0}^{2} \left(3x^{2} + 2x + 2\right)\,dx.
A 1212
B 1818
C −16-16
D 1616
Thông hiểu
Câu 110. Hàm FF là một nguyên hàm của hàm số liên tục ff trên [−1;4][-1;4]. Biết F(−1)=0F(-1)=0, F(1)=2F(1)=2, F(4)=−1F(4)=-1. Giá trị 2∫−11f(x) dx−3∫14f(x) dx2\int_{-1}^{1} f(x)\,dx - 3\int_{1}^{4} f(x)\,dx bằng
A −5-5
B 1313
C −13-13
D 44
Vận dụng
Câu 111. Tìm tt biết ∫01((tx+1)) dx=4\int_{0}^{1} \left((tx + 1)\right)\,dx = 4.
A 44
B 66
C 33
D 88
Vận dụng
Câu 112. Đặt G(x)=∫34x2+31+t4 dtG(x)=\int_{3}^{4x^{2} + 3}\sqrt{1+t^4}\,dt trên R\mathbb R. Giá trị chính xác G′(−3)G'(-3) bằng bao nhiêu?
A −242313442-24\sqrt{2313442}
B 00
C 2313442\sqrt{2313442}
D 24231344224\sqrt{2313442}
Thông hiểu
Câu 113. Tính ∫06(∣x−3∣) dx\int_{0}^{6} \left(\left|x - 3\right|\right)\,dx.
A 33
B 00
C 99
D 1818

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 114. Cho hàm số f(x)=6x2+4xf(x) = 6x^{2} + 4x.
a) ∫00(6x2+4x) dx=0\int_{0}^{0} \left(6x^{2} + 4x\right)\,dx = 0.
b) Công thức Newton–Leibniz đòi hỏi hàm liên tục trên đoạn lấy tích phân.
c) ∫20(6x2+4x) dx=24\int_{2}^{0} \left(6x^{2} + 4x\right)\,dx = 24.
d) Tích phân của một hàm dương trên [0;2][0; 2] luôn dương.

Trả lời ngắn 3 câu

Nhận biết
Câu 115. Tính ∫03(4x2+2x+5) dx\int_{0}^{3} \left(4x^{2} + 2x + 5\right)\,dx.
Thông hiểu
Câu 116. Hàm FF là một nguyên hàm của hàm số liên tục ff trên [−2;4][-2;4]. Biết F(−2)=1F(-2)=1, F(4)=9F(4)=9. Tính ∫4−2f(x) dx\int_{4}^{-2} f(x)\,dx (trả lời kèm dấu).
Thông hiểu
Câu 117. Tính ∫010(∣x−5∣) dx\int_{0}^{10} \left(\left|x - 5\right|\right)\,dx.

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 118. Tính ∫01(4x2+4x+5) dx\int_{0}^{1} \left(4x^{2} + 4x + 5\right)\,dx (làm tròn đến hàng phần trăm).
Thông hiểu
Câu 119. Hàm FF là một nguyên hàm của hàm số liên tục ff trên [−2;6][-2;6]. Biết F(−2)=2F(-2)=2, F(6)=10F(6)=10. Tính ∫6−2f(x) dx\int_{6}^{-2} f(x)\,dx.
Vận dụng
Câu 120. Đặt G(x)=∫65x2+61+t4 dtG(x)=\int_{6}^{5x^{2} + 6}\sqrt{1+t^4}\,dt trên R\mathbb R. Tính chính xác G′(1)G'(1) mà không tìm nguyên hàm tường minh. Nêu dấu đạo hàm và giải thích vai trò của cận trên phụ thuộc biến.
Thông hiểu
Câu 121. Tính ∫06(∣x−3∣) dx\int_{0}^{6} \left(\left|x - 3\right|\right)\,dx.

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và khối tròn xoay 17 câu

Bài tập ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và khối tròn xoay — Toán lớp 12: 17 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 5 câu

Nhận biết
Câu 122. Cho hàm số f(x)=3x+4f(x) = \sqrt{3x + 4}. Tính ∫03[f(x)]2 dx\int_{0}^{3} [f(x)]^2\,dx.
A 352\dfrac{35}{2}
B 51π2\dfrac{51\pi}{2}
C 512\dfrac{51}{2}
D 3939
Thông hiểu
Câu 123. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0x = 0 và x=2x = 2. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx là hình vuông cạnh f(x)=2xf(x) = 2x. Tính thể tích của vật thể đó.
A 8π3\dfrac{8\pi}{3}
B 32π3\dfrac{32\pi}{3}
C 323\dfrac{32}{3}
D 1616
Vận dụng
Câu 124. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0x = 0 và x=2x = 2. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx là hình tròn đường kính f(x)=4x+2f(x) = \sqrt{4x + 2}. Tính thể tích của vật thể đó.
A 6π6\pi
B 12π12\pi
C 3π3\pi
D 33
Thông hiểu
Câu 125. Một chiếc phao cứu sinh có dạng khối tròn xoay sinh ra khi quay một hình tròn quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa hình tròn ấy và không cắt hình tròn (khối xuyến). Mặt cắt qua trục cho thấy bán kính ngoài của phao bằng 3535 cm, bán kính trong bằng 2525 cm. Phao làm bằng vật liệu đồng chất có khối lượng riêng 0,080{,}08 g/cm³ (coi phao là khối đặc). Chọn hệ trục OxyOxy trong một mặt phẳng chứa trục của phao, trục OyOy là trục của phao (đơn vị centimét). Thể tích VV của phao (đơn vị cm³) bằng
A V=π∫−55[(30+25−y2)2−(30−25−y2)2] dyV = \pi\int_{-5}^{5} \left[\left(30 + \sqrt{25 - y^2}\right)^2 - \left(30 - \sqrt{25 - y^2}\right)^2\right]\,dy
B V=π∫−55[(30+25−y2)−(30−25−y2)]2 dyV = \pi\int_{-5}^{5} \left[\left(30 + \sqrt{25 - y^2}\right) - \left(30 - \sqrt{25 - y^2}\right)\right]^2\,dy
C V=π∫05[(30+25−y2)2−(30−25−y2)2] dyV = \pi\int_{0}^{5} \left[\left(30 + \sqrt{25 - y^2}\right)^2 - \left(30 - \sqrt{25 - y^2}\right)^2\right]\,dy
D V=π∫−55(30+25−y2)2 dyV = \pi\int_{-5}^{5} \left(30 + \sqrt{25 - y^2}\right)^2\,dy
Vận dụng
Câu 126. Một chiếc thùng làm kem có dạng khối tròn xoay mà mặt cắt qua trục là một parabol có đỉnh nằm ở đáy. Miệng thùng là hình tròn có đường kính 2020 cm, chiều sâu của thùng (từ đáy đến mặt phẳng miệng) là 2424 cm. Với 0≤x≤240 \le x \le 24, gọi r(x)r(x) là bán kính của thiết diện vuông góc với trục, cách đáy xx cm. Thùng chứa được tối đa bao nhiêu lít? (làm tròn đến hàng phần trăm).
A 3,77 lıˊt3{,}77\,\text{lít}
B 7,54 lıˊt7{,}54\,\text{lít}
C 5,03 lıˊt5{,}03\,\text{lít}
D 2,51 lıˊt2{,}51\,\text{lít}

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 127. Cho hàm số f(x)=3x2f(x) = 3x^{2} và hình phẳng (D)(D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x=0x = 0 và x=2x = 2.
a) Khi quay (D)(D) quanh trục OxOx, thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với OxOx tại điểm có hoành độ x∈[0;2]x \in \left[0; 2\right] là hình tròn bán kính f(x)f(x).
b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D)(D) quanh trục OxOx được tính bởi công thức V=2π∫02[f(x)]2 dxV = 2\pi\int_{0}^{2} [f(x)]^2\,dx.
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D)(D) quanh trục OxOx bằng 288π5\dfrac{288\pi}{5}.
d) Nếu thay f(x)f(x) bởi 2f(x)2f(x) thì thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục OxOx tăng gấp 44 lần.
Vận dụng
Câu 128. Một lều cắm trại có khung là hai thanh uốn theo hai parabol giống nhau, có chung đỉnh SS và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau: parabol thứ nhất đi qua AA, SS, CC, parabol thứ hai đi qua BB, SS, DD, trong đó bốn chân lều AA, BB, CC, DD là bốn đỉnh của hình vuông cạnh 222\sqrt{2} m trên mặt đất. Đỉnh SS cao 1,51{,}5 m so với mặt đất, và mọi mặt cắt của lều bởi mặt phẳng song song với mặt đất đều là hình vuông có bốn đỉnh nằm trên hai parabol ấy. Trong mặt phẳng (SAC)(SAC), chọn hệ trục IxyIxy (đơn vị mét) với II là tâm hình vuông ABCDABCD, tia IxIx đi qua CC, tia IyIy đi qua SS.
a) Parabol đi qua AA, SS, CC có phương trình y=1,5−0,75x2y = 1{,}5 - 0{,}75x^2.
b) Mặt cắt của lều ở độ cao yy mét (0≤y≤1,50 \le y \le 1{,}5) có diện tích S(y)=8(1−23y)2S(y) = 8\left(1 - \dfrac{2}{3}y\right)^2 (m²).
c) Thể tích của lều là V=∫01,5(8−163y) dyV = \int_{0}^{1{,}5} \left(8 - \dfrac{16}{3}y\right)\,dy (m³).
d) Thể tích của lều gấp đôi thể tích khối chóp tứ giác đều có cùng đáy ABCDABCD và cùng chiều cao với lều.

Trả lời ngắn 5 câu

Thông hiểu
Câu 129. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=1x = 1 và x=4x = 4. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx là hình vuông cạnh f(x)=x+3f(x) = \sqrt{x + 3}. Tính thể tích VV của vật thể đó.
Vận dụng
Câu 130. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0x = 0 và x=3x = 3. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx là hình tròn đường kính f(x)=4x+3f(x) = \sqrt{4x + 3}. Thể tích của vật thể đó bằng V=kπV = k\pi. Tính kk.
Vận dụng cao
Câu 131. Một vật thể được tiện tròn xoay từ miền phẳng 0≤y≤f(x)0 \le y \le f(x) trên [0;29][0; 29], trong đó ff là đường gấp khúc đi qua các điểm:
Điểm gãyxx (cm)f(x)f(x) (cm)
M0M_00099
M1M_1991818
M2M_218181010
M3M_3292999

Hồ sơ máy đã mất, chỉ còn danh mục các cấu hình có thể đã dùng. Mỗi cấu hình gồm một trục quay nằm ngang và một lỗ khoan đồng trục xuyên suốt:
Cấu hìnhTrục quayBán kính lỗ khoan ρ\rho (cm)
11y=0y = 0không khoan
22y=−1y = -1không khoan
33y=19y = 1944
44y=7y = 711

Quy ước dựng thiết diện: quay đoạn thẳng đứng [0;f(x)][0; f(x)] quanh trục y=hy = h thì bán kính ngoài là R(x)=max⁡(∣h∣,∣f(x)−h∣)R(x) = \max\left(|h|, |f(x) - h|\right); bán kính trong của chính hình quay bằng 00 nếu trục cắt qua đoạn ấy (tức 0≤h≤f(x)0 \le h \le f(x)), còn nếu không thì bằng min⁡(∣h∣,∣f(x)−h∣)\min\left(|h|, |f(x) - h|\right). Sau khi khoan lỗ bán kính ρ\rho, bán kính trong hữu hiệu là giá trị lớn hơn trong hai thứ ấy. Thiết diện là hình vành khăn diện tích π(R2−rhh2)\pi\left(R^2 - r_{hh}^2\right).
Để nhận dạng, người ta đo thể tích của riêng đoạn 0≤x≤90 \le x \le 9 cm và được kết quả nằm trong khoảng từ 99 L đến 9,149{,}14 L.
Tính thể tích toàn vật thể của cấu hình duy nhất phù hợp, theo lít, làm tròn đến 0,10{,}1 L. (Đổi đơn vị: 11 L =1000= 1000 cm³.)
Nhận biết
Câu 132. Cho hàm số f(x)=4x+4f(x) = \sqrt{4x + 4}. Tính ∫14[f(x)]2 dx\int_{1}^{4} [f(x)]^2\,dx.
Vận dụng
Câu 133. Một khối bê tông cao 22 m được đặt trên mặt đất. Cắt khối bê tông bởi mặt phẳng nằm ngang cách mặt đất xx mét (0≤x≤20 \le x \le 2) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài 55 m và chiều rộng (23)x\left(\dfrac{2}{3}\right)^x m. Biết mỗi mét khối bê tông nặng 2,42{,}4 tấn. Khối bê tông nặng bao nhiêu tấn? (làm tròn đến hàng phần mười).

Tự luận 5 câu

Nhận biết
Câu 134. Cho hàm số f(x)=4x+1f(x) = \sqrt{4x + 1}. Tính ∫13[f(x)]2 dx\int_{1}^{3} [f(x)]^2\,dx.
Thông hiểu
Câu 135. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=1x = 1 và x=2x = 2. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx là hình vuông cạnh f(x)=3xf(x) = 3x. Tính thể tích VV của vật thể đó.
Vận dụng cao
Câu 136. Một vật thể được tiện tròn xoay từ miền phẳng 0≤y≤f(x)0 \le y \le f(x) trên [0;23][0; 23], trong đó ff là đường gấp khúc đi qua các điểm:
Điểm gãyxx (cm)f(x)f(x) (cm)
M0M_0001616
M1M_1551515
M2M_212121414
M3M_323231111

Hồ sơ máy đã mất, chỉ còn danh mục các cấu hình có thể đã dùng. Mỗi cấu hình gồm một trục quay nằm ngang và một lỗ khoan đồng trục xuyên suốt:
Cấu hìnhTrục quayBán kính lỗ khoan ρ\rho (cm)
11y=0y = 0không khoan
22y=−8y = -822
33y=18y = 1844
44y=10y = 1011

Quy ước dựng thiết diện: quay đoạn thẳng đứng [0;f(x)][0; f(x)] quanh trục y=hy = h thì bán kính ngoài là R(x)=max⁡(∣h∣,∣f(x)−h∣)R(x) = \max\left(|h|, |f(x) - h|\right); bán kính trong của chính hình quay bằng 00 nếu trục cắt qua đoạn ấy (tức 0≤h≤f(x)0 \le h \le f(x)), còn nếu không thì bằng min⁡(∣h∣,∣f(x)−h∣)\min\left(|h|, |f(x) - h|\right). Sau khi khoan lỗ bán kính ρ\rho, bán kính trong hữu hiệu là giá trị lớn hơn trong hai thứ ấy. Thiết diện là hình vành khăn diện tích π(R2−rhh2)\pi\left(R^2 - r_{hh}^2\right).
Để nhận dạng, người ta đo thể tích của riêng đoạn 0≤x≤120 \le x \le 12 cm và được kết quả nằm trong khoảng từ 8,338{,}33 L đến 8,438{,}43 L.
Tính thể tích toàn vật thể của cấu hình duy nhất phù hợp, theo lít, làm tròn đến 0,10{,}1 L. (Đổi đơn vị: 11 L =1000= 1000 cm³.)
Vận dụng
Câu 137. Từ một khối cầu bằng đá có bán kính 44 dm, người ta khoan bỏ phần lõi ở chính giữa: mũi khoan hình trụ có bán kính 22 dm khoan xuyên qua khối cầu theo một đường kính (trục của lỗ khoan đi qua tâm khối cầu). Chọn hệ trục OxyOxy có gốc OO là tâm khối cầu, trục OxOx là trục của lỗ khoan (đơn vị dm).
Vận dụng
Câu 138. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=1x = 1 và x=4x = 4. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx là hình tròn đường kính f(x)=4x+1f(x) = \sqrt{4x + 1}. Thể tích của vật thể đó bằng V=kπV = k\pi. Tính kk.

Ôn tập chương Nguyên hàm và tích phân — Toán lớp 12

Chương Nguyên hàm và tích phân trong chương trình Toán lớp 12 thuộc mạch một số yếu tố giải tích có 138 câu hỏi chia thành 10 dạng bài, mỗi câu kèm đáp án và lời giải chi tiết. Đây là bộ bài tập nguyên hàm và tích phân đầy đủ để ôn luyện sau khi học xong chương trên lớp.

Các dạng bài trong chương: khái niệm nguyên hàm và họ nguyên hàm (11 câu), các tính chất cơ bản của nguyên hàm (12 câu), bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (15 câu), ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong chuyển động và bài toán thực tiễn (16 câu), ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (17 câu), tính nguyên hàm trong các trường hợp đơn giản bằng biến đổi đại số và công thức cơ bản (9 câu) và 4 dạng khác. Bấm vào tên dạng để nhảy thẳng tới nhóm câu hỏi của dạng ấy.

Độ khó rải đều bốn mức của ma trận đề: 22 câu nhận biết, 52 câu thông hiểu, 50 câu vận dụng và 14 câu vận dụng cao. Làm từ nhận biết lên vận dụng cao để biết mình hổng ở mức nào.

Đủ các dạng câu của đề thi tốt nghiệp THPT: 42 câu trắc nghiệm nhiều phương án, 16 câu đúng – sai, 36 câu trả lời ngắn và 44 câu tự luận. Quen tay cả bốn dạng câu thì vào phòng thi không mất thời gian làm quen cách hỏi.

Có thể làm trực tiếp trên trang, hoặc tải đề bài cả chương dưới dạng PDF miễn phí để in ra làm trên giấy; bản lời giải chi tiết cả chương tải riêng. Học xong chương nào nên luyện ngay chương ấy, rồi làm đề thi thử Toán lớp 12 để kiểm tra lại toàn bộ chương trình.