Năm học 2026–2027 · Thi tốt nghiệp THPT 2027 · Đề mới mỗi ngày, làm và chấm ngay trên web

Đăng ký Đăng nhập
Đăng ký Đăng nhập
Tốt nghiệp THPT
Bộ đề VIP Thi LIVE
T Toán
Đề thi thử 6 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025 Đề các trường 2026
L Vật lý
Đề thi thử 6 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025 Đề các trường 2026
H Hóa học
Đề thi thử 5 bài Thi thử TN THPT Chương trình L10,L11 + Giữa kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 lớp 12 Chương trình L10,L11 + Học kỳ 1 & Giữa kỳ 2 lớp 12 Đề các trường 2025
Lớp 12
T Toán
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 7 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 11 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 11
T Toán
Ôn luyện chương 12 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 7 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 10
T Toán
Ôn luyện chương 12 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
L Vật lý
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
H Hóa học
Ôn luyện chương 11 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 9
T Toán
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
KHTN Khoa học tự nhiên
Ôn luyện chương 17 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Lớp 8
T Toán
Ôn luyện chương 10 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
KHTN Khoa học tự nhiên
Ôn luyện chương 9 chương Đề thi thử 5 bài Giữa kỳ 1 Cuối kỳ 1 Giữa kỳ 2 Cuối kỳ 2 Khảo sát cuối năm
Tin tức
Toán Lớp 12 Hình học và Đo lường

Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian — ôn luyện Toán lớp 12

84 câu hỏi chia theo 8 dạng bài, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu. Mỗi câu chỉ xuất hiện một lần — không có hai bài giống nhau chỉ khác bộ số.

Tải đề bài cả chươngPDF · MIỄN PHÍ

Góc giữa hai vectơ 8 câu

Bài tập góc giữa hai vectơ — Toán lớp 12: 8 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 1. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểm A(−3;3;2)A(-3; 3; 2), B(−5;3;4)B(-5; 3; 4) và C(−3;5;4)C(-3; 5; 4). Tích vô hướng AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} bằng:
A 00
B 4646
C −4-4
D 44
Thông hiểu
Câu 2. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểm A(1;2;1)A(1; 2; 1), B(−1;2;−1)B(-1; 2; -1) và C(−1;0;−3)C(-1; 0; -3). Số đo góc BAC^\widehat{BAC} bằng:
A 150∘150^\circ
B 30∘30^\circ
C 45∘45^\circ
D 135∘135^\circ
Vận dụng
Câu 3. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểm A(2;3;2)A(2; 3; 2), B(2;2;1)B(2; 2; 1) và C(3;4;4)C(3; 4; 4). Góc giữa hai vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CA→\overrightarrow{CA} bằng:
A 150∘150^\circ
B 60∘60^\circ
C 30∘30^\circ
D 45∘45^\circ

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 4. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểm A(2;−2;3)A(2; -2; 3), B(1;0;5)B(1; 0; 5) và C(3;−2;2)C(3; -2; 2).
a) AB→=(1;−2;−2)\overrightarrow{AB} = (1; -2; -2).
b) AC→=(1;0;−1)\overrightarrow{AC} = (1; 0; -1).
c) Tam giác ABCABC cân tại AA.
d) Ba điểm AA, BB, CC thẳng hàng.

Trả lời ngắn 2 câu

Nhận biết
Câu 5. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểm A(−3;1;2)A(-3; 1; 2), B(−1;5;−2)B(-1; 5; -2) và C(−7;3;2)C(-7; 3; 2). Tính AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
Vận dụng cao
Câu 6. Một hệ camera giám sát lắp một trục ống kính trong hệ toạ độ OxyzOxyz. Hướng của trục ống kính là một vectơ đơn vị u⃗\vec u và bị hai điều kiện lắp đặt:
u⃗\vec u nằm trong mặt phẳng lắp đặt, tức u⃗⋅n⃗=0\vec u \cdot \vec n = 0 với n⃗=(−3;−1;−3)\vec n = \left(-3; -1; -3\right);
u⃗\vec u phải hướng về nửa an toàn, tức u⃗⋅h⃗≥0\vec u \cdot \vec h \ge 0 với h⃗=(5;−5;1)\vec h = \left(5; -5; 1\right).
Trục ống kính cần quan sát hai mục tiêu: cửa vào AA theo hướng a⃗=(3;4;−5)\vec a = \left(3; 4; -5\right) và cửa vào BB theo hướng b⃗=(2;−4;6)\vec b = \left(2; -4; 6\right).
Tiêu chí thiết kế: chọn u⃗\vec u sao cho góc nhìn xấu hơn trong hai góc (u⃗,a⃗)^\widehat{\left(\vec u, \vec a\right)}, (u⃗,b⃗)^\widehat{\left(\vec u, \vec b\right)} là nhỏ nhất có thể. Các góc lấy trong [0∘;180∘]\left[0^\circ; 180^\circ\right].
Hỏi góc nhìn xấu hơn nhỏ nhất bằng bao nhiêu độ? Làm tròn đến độ.

Tự luận 2 câu

Vận dụng cao
Câu 7. Một trạm quan trắc lắp một trục ăng-ten trong hệ toạ độ OxyzOxyz. Hướng của trục ăng-ten là một vectơ đơn vị u⃗\vec u và bị hai điều kiện lắp đặt:
u⃗\vec u nằm trong mặt phẳng lắp đặt, tức u⃗⋅n⃗=0\vec u \cdot \vec n = 0 với n⃗=(−3;3;−2)\vec n = \left(-3; 3; -2\right);
u⃗\vec u phải hướng về nửa an toàn, tức u⃗⋅h⃗≥0\vec u \cdot \vec h \ge 0 với h⃗=(−5;1;1)\vec h = \left(-5; 1; 1\right).
Trục ăng-ten cần quan sát hai mục tiêu: cột phát AA theo hướng a⃗=(4;−3;−6)\vec a = \left(4; -3; -6\right) và cột phát BB theo hướng b⃗=(−6;−3;−5)\vec b = \left(-6; -3; -5\right).
Tiêu chí thiết kế: chọn u⃗\vec u sao cho góc nhìn xấu hơn trong hai góc (u⃗,a⃗)^\widehat{\left(\vec u, \vec a\right)}, (u⃗,b⃗)^\widehat{\left(\vec u, \vec b\right)} là nhỏ nhất có thể. Các góc lấy trong [0∘;180∘]\left[0^\circ; 180^\circ\right].
Đưa bài toán về cực đại hoá min⁡(u⃗⋅p⃗,u⃗⋅q⃗)\min\left(\vec u \cdot \vec p, \vec u \cdot \vec q\right), lập tập ứng viên và nói rõ vì sao chỉ cần xét những kiểu điểm ấy, rồi tìm u⃗\vec u tối ưu và góc nhìn xấu hơn nhỏ nhất (làm tròn đến độ).
Nhận biết
Câu 8. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba điểm A(−3;−1;1)A(-3; -1; 1), B(−3;−3;3)B(-3; -3; 3) và C(−2;−2;3)C(-2; -2; 3). Tính AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

Ứng dụng tọa độ vectơ trong hình học không gian và thực tiễn 12 câu

Bài tập ứng dụng tọa độ vectơ trong hình học không gian và thực tiễn — Toán lớp 12: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 9. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(6;0;6)A(6; 0; 6), B(1;0;4)B(1; 0; 4), C(−1;6;−4)C(-1; 6; -4). Tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC là:
A (6;6;6)(6; 6; 6)
B (2;2;2)(2; 2; 2)
C (3;3;3)\left(3; 3; 3\right)
D (0;3;0)(0; 3; 0)
Thông hiểu
Câu 10. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(−2;0;0)A(-2; 0; 0), B(1;3;−1)B(1; 3; -1), C(7;3;1)C(7; 3; 1). Diện tích tam giác ABCABC bằng:
A 17292\dfrac{\sqrt{1729}}{2}
B 352\dfrac{35}{2}
C 3143\sqrt{14}
D 6146\sqrt{14}
Vận dụng
Câu 11. Trong không gian OxyzOxyz, cho tứ diện ABCDABCD có A(−1;1;−2)A(-1; 1; -2), B(−1;0;2)B(-1; 0; 2), C(−1;2;6)C(-1; 2; 6), D(−2;1;4)D(-2; 1; 4). Thể tích khối tứ diện ABCDABCD bằng:
A 44
B 22
C 1212
D 66

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 12. Trong không gian OxyzOxyz, cho tứ diện ABCDABCD có A(1;−4;0)A(1; -4; 0), B(2;−2;3)B(2; -2; 3), C(0;0;3)C(0; 0; 3), D(2;0;4)D(2; 0; 4). Gọi GG là trọng tâm tam giác ABCABC và MM là trung điểm cạnh BCBC.
a) Diện tích tam giác ABCABC bằng 636\sqrt{3}.
b) Độ dài trung tuyến AMAM bằng 323\sqrt{2}.
c) Bốn điểm AA, BB, CC, DD đồng phẳng.
d) Góc BAC^\widehat{BAC} là góc tù.

Trả lời ngắn 4 câu

Nhận biết
Câu 13. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(0;4;−3)A(0; 4; -3), B(−1;−2;−2)B(-1; -2; -2), C(−5;−2;2)C(-5; -2; 2). Gọi MM là trung điểm cạnh BCBC. Tính độ dài trung tuyến AMAM (làm tròn đến hàng phần mười).
Thông hiểu
Câu 14. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(2;−4;−2)A(2; -4; -2), B(2;−3;0)B(2; -3; 0), C(2;1;2)C(2; 1; 2). Tính diện tích tam giác ABCABC.
Vận dụng
Câu 15. Trong không gian OxyzOxyz, cho tứ diện ABCDABCD có A(−2;−6;6)A(-2; -6; 6), B(3;−2;0)B(3; -2; 0), C(5;2;0)C(5; 2; 0), D(5;−5;3)D(5; -5; 3). Tính thể tích khối tứ diện ABCDABCD.
Vận dụng cao
Câu 16. Một trạm kiểm lâm dùng một drone tuần tra để đuổi theo một xe địa hình trong hệ toạ độ OxyzOxyz (đơn vị độ dài m\text{m}, thời gian tính theo giây).
Dữ kiệnGiá trị
Vị trí đầu của drone tuần traD(7;21;29)D\left(7; 21; 29\right)
Vị trí đầu của xe địa hìnhM(−3;−22;11)M\left(-3; -22; 11\right)
Vận tốc của xe địa hìnhv⃗m=(7;−3;8)\vec v_m = \left(7; -3; 8\right) (m/s\text{m/s})
Vận tốc giów⃗=(3;0;4)\vec w = \left(3; 0; 4\right) (m/s\text{m/s})

Drone tuần tra chỉ chọn được hướng bay: vận tốc của nó so với không khí luôn có độ lớn vkk=13v_{kk} = 13 m/s\text{m/s}, và hướng ấy không đổi trong suốt chuyến. Vận tốc so với mặt đất bằng vận tốc so với không khí cộng vận tốc gió.
Xe địa hình đi thẳng đều với vận tốc v⃗m\vec v_m. Hạn bay của drone tuần tra là 6868 giây.
Hỏi thời điểm gặp sớm nhất là bao nhiêu giây? Làm tròn đến hàng phần mười.

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 17. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(−3;0;0)A(-3; 0; 0), B(3;−4;0)B(3; -4; 0), C(3;−2;0)C(3; -2; 0). Gọi MM là trung điểm cạnh BCBC. Tính độ dài trung tuyến AMAM (làm tròn đến hàng phần mười).
Thông hiểu
Câu 18. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(4;−2;0)A(4; -2; 0), B(2;−3;−4)B(2; -3; -4), C(−6;−1;−2)C(-6; -1; -2). Tính diện tích tam giác ABCABC (làm tròn đến hàng phần mười).
Vận dụng
Câu 19. Trong không gian OxyzOxyz, cho tứ diện ABCDABCD có A(−1;−5;0)A(-1; -5; 0), B(−1;−3;4)B(-1; -3; 4), C(−1;5;2)C(-1; 5; 2), D(0;−1;1)D(0; -1; 1). Tính thể tích khối tứ diện ABCDABCD.
Vận dụng cao
Câu 20. Một đội cứu hộ dùng một drone tiếp tế để đuổi theo một xuồng cứu hộ trong hệ toạ độ OxyzOxyz (đơn vị độ dài m\text{m}, thời gian tính theo giây).
Dữ kiệnGiá trị
Vị trí đầu của drone tiếp tếD(−1;9;20)D\left(-1; 9; 20\right)
Vị trí đầu của xuồng cứu hộM(16;−22;−3)M\left(16; -22; -3\right)
Vận tốc của xuồng cứu hộv⃗m=(−5;5;8)\vec v_m = \left(-5; 5; 8\right) (m/s\text{m/s})
Vận tốc giów⃗=(3;1;0)\vec w = \left(3; 1; 0\right) (m/s\text{m/s})

Drone tiếp tế chỉ chọn được hướng bay: vận tốc của nó so với không khí luôn có độ lớn vkk=8v_{kk} = 8 m/s\text{m/s}, và hướng ấy không đổi trong suốt chuyến. Vận tốc so với mặt đất bằng vận tốc so với không khí cộng vận tốc gió.
Xuồng cứu hộ đi thẳng đều với vận tốc v⃗m\vec v_m. Hạn bay của drone tiếp tế là 66 giây.
Lập phương trình theo tt (nói rõ vì sao hướng bay bị khử), biện luận số thời điểm gặp dương, rồi tìm thời điểm gặp sớm nhất trong hạn bay (làm tròn đến hàng phần mười) và kiểm chứng bằng toạ độ điểm gặp.

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ 12 câu

Bài tập biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ — Toán lớp 12: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Thông hiểu
Câu 21. Trong không gian OxyzOxyz, cho P(−2;3;−5)P(-2; 3; -5) và Q(−1;−4;5)Q(-1; -4; 5). Điểm RR thỏa mãn 3PR→−PQ→=(17;13;−7)3\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PQ} = (17; 13; -7). Tính tổng ba tọa độ của RR.
A 73\dfrac{7}{3}
B 99
C 55
D 2323
Vận dụng
Câu 22. Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm A(−4;−3;3)A(-4; -3; 3), B(−7;−5;−3)B(-7; -5; -3), C(−3;−4;3)C(-3; -4; 3), D(−5;−5;3)D(-5; -5; 3). Tọa độ của vectơ −AB→−2CD→-\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CD} là:
A (−1;0;6)(-1; 0; 6)
B (7;4;6)(7; 4; 6)
C (7;−3;−6)(7; -3; -6)
D (8;5;12)(8; 5; 12)
Thông hiểu
Câu 23. Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm A(1;4;−2)A(1; 4; -2), B(−3;3;−10)B(-3; 3; -10), C(−3;3;2)C(-3; 3; 2), D(0;5;3)D(0; 5; 3). Tọa độ của vectơ AB→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} là:
A (-4; -1; -8)
B (7; 3; 9)
C (-7; -3; -9)
D (−1;1;−7)(-1; 1; -7)

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 24. Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm A(4;0;1)A(4; 0; 1), B(0;−1;9)B(0; -1; 9), C(0;4;−3)C(0; 4; -3), D(4;8;−2)D(4; 8; -2).
a) AB→=(4;1;−8)\overrightarrow{AB} = (4; 1; -8).
b) BA→=(4;1;−8)\overrightarrow{BA} = (4; 1; -8).
c) Hai vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} cùng phương.
d) Ba điểm AA, BB, CC thẳng hàng.
Nhận biết
Câu 25. Nhận biết tọa độ và phép toán vector trong không gian. Xét các nhận định về định nghĩa và quy tắc đã học.
a) Tọa độ hiệu hai vector được tìm bằng cộng hai tọa độ tương ứng.
b) Vector không trong Oxyz có tọa độ (0;0;0)(0;0;0).
c) Nhân vector với số k là nhân từng tọa độ của vector với k.
d) Hai vector bằng nhau khi các tọa độ tương ứng bằng nhau.

Trả lời ngắn 3 câu

Thông hiểu
Câu 26. Trong không gian OxyzOxyz, cho P(−4;5;−3)P(-4; 5; -3) và Q(−1;−5;5)Q(-1; -5; 5). Điểm RR thỏa mãn 4PR→−3PQ→=(−1;10;−16)4\overrightarrow{PR} - 3\overrightarrow{PQ} = (-1; 10; -16). Tính tổng ba tọa độ của RR (trả lời kèm dấu).
Thông hiểu
Câu 27. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(2;3;3)A(2; 3; 3) và B(9;−1;−1)B(9; -1; -1). Tính tổng ba tọa độ của vectơ AB→\overrightarrow{AB} (trả lời kèm dấu).
Vận dụng
Câu 28. Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm A(1;2;−2)A(1; 2; -2), B(8;−2;−6)B(8; -2; -6), C(−1;3;−4)C(-1; 3; -4), D(−2;6;−7)D(-2; 6; -7). Tính tích vô hướng AB→⋅CD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} (trả lời kèm dấu).

Tự luận 4 câu

Thông hiểu
Câu 29. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(−4;2;0)A(-4; 2; 0) và B(−1;−2;0)B(-1; -2; 0). Tính tổng ba tọa độ của vectơ AB→\overrightarrow{AB}.
Vận dụng
Câu 30. Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm A(−4;1;−3)A(-4; 1; -3), B(−4;−3;0)B(-4; -3; 0), C(−3;1;−3)C(-3; 1; -3), D(−2;2;−2)D(-2; 2; -2). Tính tích vô hướng AB→⋅CD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}.
Thông hiểu
Câu 31. Trong không gian OxyzOxyz, cho P(−4;−5;−2)P(-4; -5; -2) và Q(2;−4;0)Q(2; -4; 0). Điểm RR thỏa mãn 3PR→−2PQ→=(0;25;−1)3\overrightarrow{PR} - 2\overrightarrow{PQ} = (0; 25; -1). Tính tổng ba tọa độ của RR. Trình bày cách xác định vectơ rồi tìm tọa độ điểm.
Nhận biết
Câu 32. Nhận biết tọa độ và phép toán vector trong không gian. Trình bày hai nội dung sau.

Hệ trục tọa độ Oxyz và tọa độ điểm, tọa độ vectơ 9 câu

Bài tập hệ trục tọa độ oxyz và tọa độ điểm, tọa độ vectơ — Toán lớp 12: 9 câu từ nhận biết đến thông hiểu, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 33. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(2;2;3)A(2; 2; 3) và B(3;−3;0)B(3; -3; 0). Tọa độ của vectơ AB→\overrightarrow{AB} là:
A (1;5;−3)(1; 5; -3)
B (1;−5;−3)(1; -5; -3)
C (−1;5;3)(-1; 5; 3)
D (5;−1;3)(5; -1; 3)
Nhận biết
Câu 34. Trong hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm P(0;4;3)P(0; 4; 3). Tập gồm tất cả các mặt phẳng tọa độ chứa PP là tập nào?
A {(Oxy)}\{(Oxy)\}
B Không có mặt phẳng tọa độ nào
C {(Oyz)}\{(Oyz)\}
D {(Oxy),(Oyz)}\{(Oxy),(Oyz)\}
Thông hiểu
Câu 35. Trong không gian OxyzOxyz, cho A(−1;1;5)A\left(-1; 1; 5\right), B(−11;−9;−5)B\left(-11; -9; -5\right). Điểm MM thuộc đoạn ABAB và AM:MB=3:2AM:MB=3:2. Tọa độ MM là
A M(−5;−3;1)M\left(-5; -3; 1\right)
B M(−3;−1;3)M\left(-3; -1; 3\right)
C M(−11;−9;−5)M\left(-11; -9; -5\right)
D M(−7;−5;−1)M\left(-7; -5; -1\right)

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 36. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;5;−5)A(1; 5; -5) và B(−5;−2;5)B(-5; -2; 5).
a) Hai vectơ AB→\overrightarrow{AB} và BA→\overrightarrow{BA} bằng nhau.
b) Độ dài ABAB và độ dài BABA khác nhau.
c) Độ dài ABAB xấp xỉ 14,614{,}6.
d) Nếu hai điểm trùng nhau thì vectơ nối chúng là vectơ không.

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu
Câu 37. Cho A(4;2;2)A\left(4; 2; 2\right), B(11;9;−5)B\left(11; 9; -5\right). Điểm MM thuộc ABAB, AM:MB=3:4AM:MB=3:4. Tính hoành độ của MM.
Thông hiểu
Câu 38. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(−4;−5;2)A(-4; -5; 2) và B(−3;−3;1)B(-3; -3; 1). Tính độ dài đoạn thẳng ABAB (làm tròn đến hàng phần mười).

Tự luận 3 câu

Nhận biết
Câu 39. Trong hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm P(−3;0;0)P(-3; 0; 0). Xác định tất cả các mặt phẳng tọa độ chứa PP. Giải thích từng điều kiện.
Thông hiểu
Câu 40. Trong không gian OxyzOxyz, cho A(−1;1;2)A\left(-1; 1; 2\right) và B(−6;−4;−8)B\left(-6; -4; -8\right).
Thông hiểu
Câu 41. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(−1;1;−5)A(-1; 1; -5) và B(−4;5;4)B(-4; 5; 4). Tính độ dài đoạn thẳng ABAB.

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 12 câu

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ trong không gian — Toán lớp 12: 12 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 3 câu

Nhận biết
Câu 42. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(4;−2;−2)\vec u = (4; -2; -2) và v⃗=(2;2;−4)\vec v = (2; 2; -4). Tích vô hướng u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v bằng:
A 2020
B 00
C 44
D 1212
Thông hiểu
Câu 43. Trong OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−2;−3;−3)\vec u = (-2; -3; -3) và v⃗=(−3;−1;−2)\vec v = (-3; -1; -2); gọi θ\theta là góc giữa chúng. Cặp kết quả tích vô hướng và quan hệ góc nào đúng?
A u⃗⋅v⃗=15,θ>90∘\vec u\cdot\vec v = 15,\quad \theta > 90^\circ
B u⃗⋅v⃗=15,θ=90∘\vec u\cdot\vec v = 15,\quad \theta = 90^\circ
C u⃗⋅v⃗=9,θ<90∘\vec u\cdot\vec v = 9,\quad \theta < 90^\circ
D u⃗⋅v⃗=15,θ<90∘\vec u\cdot\vec v = 15,\quad \theta < 90^\circ
Vận dụng
Câu 44. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(−1;2;2)\vec a = (-1; 2; 2) và b⃗=(−6;−6;m)\vec b = (-6; -6; m). Tìm số thực mm để a⃗⊥b⃗\vec a \perp \vec b.
A 00
B −3-3
C 66
D 33

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 45. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−1;1;0)\vec u = (-1; 1; 0) và v⃗=(−3;6;−3)\vec v = (-3; 6; -3).
a) ∣u⃗∣=2|\vec u| = \sqrt{2}.
b) Hai vectơ u⃗\vec u và v⃗\vec v vuông góc với nhau.
c) Góc giữa hai vectơ u⃗\vec u và v⃗\vec v là góc tù.
d) Nếu u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0 thì u⃗=0⃗\vec u = \vec 0 hoặc v⃗=0⃗\vec v = \vec 0.

Trả lời ngắn 4 câu

Thông hiểu
Câu 46. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−4;2;2)\vec u = (-4; 2; 2) và v⃗=(3;3;−6)\vec v = (3; 3; -6). Góc giữa hai vectơ u⃗\vec u và v⃗\vec v bằng bao nhiêu độ?
Nhận biết
Câu 47. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−4;2;−4)\vec u = (-4; 2; -4) và v⃗=(3;−3;0)\vec v = (3; -3; 0). Tính u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v (trả lời kèm dấu).
Vận dụng
Câu 48. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(−3;−6;−3)\vec a = (-3; -6; -3) và b⃗=(−2;2;m)\vec b = (-2; 2; m). Tìm số thực mm để a⃗⊥b⃗\vec a \perp \vec b (trả lời kèm dấu).
Thông hiểu
Câu 49. Trong không gian, ∥u⃗∥=6\|\vec u\|=6, ∥v⃗∥=4\|\vec v\|=4 và ∥u⃗+v⃗∥=26\|\vec u+\vec v\|=2\sqrt{6}. Tính u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v (trả lời kèm dấu).

Tự luận 4 câu

Nhận biết
Câu 50. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(4;2;2)\vec u = (4; 2; 2) và v⃗=(2;4;−2)\vec v = (2; 4; -2). Tính u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v.
Thông hiểu
Câu 51. Trong OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−4;4;2)\vec u = (-4; 4; 2) và v⃗=(4;−2;4)\vec v = (4; -2; 4); gọi θ\theta là góc giữa chúng. Tính tích vô hướng rồi kết luận quan hệ góc giữa hai vectơ.
Thông hiểu
Câu 52. Trong không gian, ∥u⃗∥=9\|\vec u\|=9, ∥v⃗∥=6\|\vec v\|=6 và ∥u⃗+v⃗∥=9\|\vec u+\vec v\|=9. Tính u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.
Vận dụng
Câu 53. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(−6;9;3)\vec a = (-6; 9; 3) và b⃗=(m;2;−2)\vec b = (m; 2; -2). Tìm số thực mm để a⃗⊥b⃗\vec a \perp \vec b.

Vectơ trong không gian 7 câu

Bài tập vectơ trong không gian — Toán lớp 12: 7 câu từ nhận biết đến thông hiểu, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Nhận biết
Câu 54. Trong không gian OxyzOxyz, cho u⃗=(1;2;2)\vec u = (1; 2; 2) và v⃗=(−3;−4;−1)\vec v = (-3; -4; -1). Tích vô hướng u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v bằng
A −13-13
B −48-48
C −11-11
D 1313
Thông hiểu
Câu 55. Trong không gian OxyzOxyz, cho u⃗=(−2;−4;−4)\vec u = (-2; -4; -4). Tổng ba toạ độ của 4u⃗4\vec u bằng
A −40-40
B −10-10
C −6-6
D 2424

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 56. Trong không gian OxyzOxyz, cho u⃗=(4;4;−7)\vec u = (4; 4; -7) và v⃗=(−3;−1;4)\vec v = (-3; -1; 4).
a) ∣u⃗∣=9\left|\vec u\right| = 9.
b) 2u⃗2\vec u có toạ độ (8;8;−14)(8; 8; -14).
c) u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v.
d) ∣2u⃗∣=18\left|2\vec u\right| = 18.

Trả lời ngắn 2 câu

Nhận biết
Câu 57. Trong không gian OxyzOxyz, cho u⃗=(2;6;9)\vec u = (2; 6; 9). Tính ∣u⃗∣\left|\vec u\right|.
Thông hiểu
Câu 58. Trong Oxyz, cho A(5;0;−3)A(5; 0; -3), B(8;−1;−5)B(8; -1; -5). Vectơ u⃗=(a;1;b)\vec u=(a;1;b) ngược hướng và cùng độ dài với AB→\overrightarrow{AB}. Tính a+ba+b (trả lời kèm dấu).

Tự luận 2 câu

Nhận biết
Câu 59. Trong không gian OxyzOxyz, cho u⃗=(2;−4;−4)\vec u = (2; -4; -4) và v⃗=(0;0;−5)\vec v = (0; 0; -5). Tính u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v.
Thông hiểu
Câu 60. Trong Oxyz, cho A(4;3;3)A(4; 3; 3), B(9;1;2)B(9; 1; 2). Vectơ u⃗=(a;2;b)\vec u=(a;2;b) ngược hướng và cùng độ dài với AB→\overrightarrow{AB}. Tính a+ba+b.

Tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với vectơ trong không gian 17 câu

Bài tập tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với vectơ trong không gian — Toán lớp 12: 17 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 6 câu

Nhận biết
Câu 61. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Vectơ B′B→+B′A′→+B′C′→\overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{B'A'} + \overrightarrow{B'C'} bằng vectơ nào dưới đây?
A B′D→\overrightarrow{B'D}
B B′C→\overrightarrow{B'C}
C DB′→\overrightarrow{DB'}
D B′A→\overrightarrow{B'A}
Thông hiểu
Câu 62. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba vectơ u⃗=(−4;4;−2)\vec u = (-4; 4; -2), v⃗=(−3;4;1)\vec v = (-3; 4; 1) và w⃗=(−4;4;0)\vec w = (-4; 4; 0). Tọa độ của vectơ t⃗\vec t thỏa mãn t⃗−u⃗=v⃗+w⃗\vec t - \vec u = \vec v + \vec w là:
A (−7;8;1)(-7; 8; 1)
B (−11;12;−1)(-11; 12; -1)
C (−3;4;3)(-3; 4; 3)
D (−3;4;−1)(-3; 4; -1)
Vận dụng
Câu 63. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ABC.A'B'C'. Gọi MM là trung điểm của A′C′A'C' và NN là trung điểm của BCBC. Đặt AA′→=a⃗\overrightarrow{AA'} = \vec{a}, AB→=b⃗\overrightarrow{AB} = \vec{b}, AC→=c⃗\overrightarrow{AC} = \vec{c}. Khẳng định nào sau đây đúng?
A 4MN→=2b⃗−4a⃗4\overrightarrow{MN} = 2\vec{b} - 4\vec{a}
B 4MN→=b⃗−4a⃗4\overrightarrow{MN} = \vec{b} - 4\vec{a}
C 4MN→=4a⃗−2b⃗4\overrightarrow{MN} = 4\vec{a} - 2\vec{b}
D 4MN→=2(b⃗−a⃗)4\overrightarrow{MN} = 2\left(\vec{b} - \vec{a}\right)
Nhận biết
Câu 64. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(0;1;0)\vec u = (0; 1; 0) và v⃗=(−4;−2;1)\vec v = (-4; -2; 1). Tọa độ của vectơ 2u⃗−3v⃗2\vec u - 3\vec v là:
A (−12;−4;3)(-12; -4; 3)
B (−8;−7;2)(-8; -7; 2)
C (12;−1;1)(12; -1; 1)
D (12;8;−3)(12; 8; -3)
Thông hiểu
Câu 65. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=1AB = 1, AD=9AD = 9, AA′=4AA' = 4. Độ dài của vectơ u⃗=C′B′→+C′C→+C′D′→\vec{u} = \overrightarrow{C'B'} + \overrightarrow{C'C} + \overrightarrow{C'D'} bằng
A 9898
B 1414
C 727\sqrt{2}
D 97\sqrt{97}
Vận dụng
Câu 66. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba vectơ u⃗=(3;−4;1)\vec u = (3; -4; 1), v⃗=(−2;4;4)\vec v = (-2; 4; 4) và a⃗=(10;−16;−6)\vec a = (10; -16; -6) thỏa mãn a⃗=xu⃗+yv⃗\vec a = x\vec u + y\vec v. Cặp số (x;y)(x; y) là:
A (−2;2)(-2; 2)
B (−2;−2)(-2; -2)
C (2;−2)(2; -2)
D (2;2)(2; 2)

Câu đúng / sai 2 câu

Thông hiểu
Câu 67. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba vectơ u⃗=(4;−3;3)\vec u = (4; -3; 3), v⃗=(3;3;4)\vec v = (3; 3; 4) và w⃗=(4;1;4)\vec w = (4; 1; 4).
a) u⃗+v⃗=(7;−6;7)\vec u + \vec v = (7; -6; 7).
b) u⃗−v⃗=(1;−6;−1)\vec u - \vec v = (1; -6; -1).
c) 4u⃗=(16;−12;12)4\vec u = (16; -12; 12).
d) 4u⃗+2v⃗=(22;−6;20)4\vec u + 2\vec v = (22; -6; 20).
Thông hiểu
Câu 68. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=6AB = 6, AD=9AD = 9, AA′=2AA' = 2.
a) A′C′→+CB′→+C′B→=DB→\overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{CB'} + \overrightarrow{C'B} = \overrightarrow{DB}.
b) CA′→+DB′→=2B′C→\overrightarrow{CA'} + \overrightarrow{DB'} = 2\overrightarrow{B'C}.
c) Nếu OO là tâm của mặt DAA′D′DAA'D' thì CO→=AB→−12AD→+12AA′→\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}.
d) ∣BA→+BB′→+BC→∣=11\left|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC}\right| = 11.

Trả lời ngắn 5 câu

Nhận biết
Câu 69. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−3;1;−2)\vec u = (-3; 1; -2) và v⃗=(3;−1;−4)\vec v = (3; -1; -4). Tính tổng ba tọa độ của vectơ 4u⃗+2v⃗4\vec u + 2\vec v (trả lời kèm dấu).
Thông hiểu
Câu 70. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(−3;12;−15)\vec a = (-3; 12; -15) và b⃗=(−2;8;m)\vec b = (-2; 8; m). Tìm số thực mm để hai vectơ a⃗\vec a và b⃗\vec b cùng phương (trả lời kèm dấu).
Vận dụng
Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi OO là tâm của mặt A′B′C′D′A'B'C'D'. Biết AO→=xAB→+yAD→+zAA′→\overrightarrow{AO} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AA'} với xx, yy, zz là các số thực. Tính x2+y2+z2x^2 + y^2 + z^2.
Thông hiểu
Câu 72. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình bình hành tâm OO. Tìm số thực kk sao cho SD→+SC→+SB→+SA→=kSO→\overrightarrow{SD} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SA} = k\overrightarrow{SO}.
Vận dụng
Câu 73. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba vectơ u⃗=(3;−3;2)\vec u = (3; -3; 2), v⃗=(−3;1;3)\vec v = (-3; 1; 3) và a⃗=(3;−5;7)\vec a = (3; -5; 7) thỏa mãn a⃗=xu⃗+yv⃗\vec a = x\vec u + y\vec v. Tính x+yx + y.

Tự luận 4 câu

Thông hiểu
Câu 74. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=6AB = 6, AD=8AD = 8, AA′=4AA' = 4.
Nhận biết
Câu 75. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(−2;1;0)\vec u = (-2; 1; 0) và v⃗=(0;−2;4)\vec v = (0; -2; 4). Tính tổng ba tọa độ của vectơ 3u⃗−v⃗3\vec u - \vec v.
Vận dụng
Câu 76. Trong không gian OxyzOxyz, cho ba vectơ u⃗=(−1;−1;−2)\vec u = (-1; -1; -2), v⃗=(−4;3;4)\vec v = (-4; 3; 4) và a⃗=(−6;8;12)\vec a = (-6; 8; 12) thỏa mãn a⃗=xu⃗+yv⃗\vec a = x\vec u + y\vec v. Tính x+yx + y.
Thông hiểu
Câu 77. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ a⃗=(−12;6;−9)\vec a = (-12; 6; -9) và b⃗=(m;−2;3)\vec b = (m; -2; 3). Tìm số thực mm để hai vectơ a⃗\vec a và b⃗\vec b cùng phương.

Độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm 7 câu

Bài tập độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm — Toán lớp 12: 7 câu từ nhận biết đến vận dụng, gồm trắc nghiệm nhiều phương án, đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận, có đáp án và lời giải chi tiết từng câu.

Trắc nghiệm nhiều phương án 2 câu

Nhận biết
Câu 78. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(3;2;3)A(3; 2; 3) và B(5;3;5)B(5; 3; 5). Độ dài đoạn thẳng ABAB bằng
A 55
B 99
C 33
D 5\sqrt{5}
Thông hiểu
Câu 79. Trong không gian OxyzOxyz, cho vectơ u⃗=(−6;−3;2)\vec u = (-6; -3; 2). Độ dài của vectơ 2u⃗2\vec u bằng
A 1414
B 2828
C 77
D 9898

Câu đúng / sai 1 câu

Thông hiểu
Câu 80. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(2;−4;−4)A(2; -4; -4) và B(−2;−8;−11)B(-2; -8; -11).
a) AB→=(−4;−4;−7)\overrightarrow{AB} = (-4; -4; -7).
b) AB=9AB = 9.
c) Gọi MM là trung điểm của ABAB, khi đó AM=92AM = \dfrac{9}{2}.
d) Hai điểm AA và BB cách gốc tọa độ OO những khoảng bằng nhau.

Trả lời ngắn 2 câu

Thông hiểu
Câu 81. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(−1;−2;2)A(-1; -2; 2) và B(−3;4;−1)B(-3; 4; -1). Tính AB2AB^{2}.
Vận dụng
Câu 82. Trong Oxyz, cho A(−4;3;3)A(-4; 3; 3), B(3;−3;4)B(3; -3; 4). Điểm P nằm trên Oz và cách đều A, B. Tính tọa độ z của P, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Tự luận 2 câu

Thông hiểu
Câu 83. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(0;3;4)A(0; 3; 4) và B(6;9;1)B(6; 9; 1). Tính AB2AB^{2}.
Vận dụng
Câu 84. Trong Oxyz, cho A(2;3;4)A(2; 3; 4), B(4;−4;−1)B(4; -4; -1). Điểm P nằm trên Oz và cách đều A, B. Tính tọa độ z của P, làm tròn đến một chữ số thập phân.

Ôn tập chương Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian — Toán lớp 12

Chương Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian trong chương trình Toán lớp 12 thuộc mạch hình học và đo lường có 84 câu hỏi chia thành 8 dạng bài, mỗi câu kèm đáp án và lời giải chi tiết. Đây là bộ bài tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian đầy đủ để ôn luyện sau khi học xong chương trên lớp.

Các dạng bài trong chương: góc giữa hai vectơ (8 câu), ứng dụng tọa độ vectơ trong hình học không gian và thực tiễn (12 câu), biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (12 câu), hệ trục tọa độ oxyz và tọa độ điểm, tọa độ vectơ (9 câu), tích vô hướng của hai vectơ trong không gian (12 câu), vectơ trong không gian (7 câu) và 2 dạng khác. Bấm vào tên dạng để nhảy thẳng tới nhóm câu hỏi của dạng ấy.

Độ khó rải đều bốn mức của ma trận đề: 22 câu nhận biết, 41 câu thông hiểu, 17 câu vận dụng và 4 câu vận dụng cao. Làm từ nhận biết lên vận dụng cao để biết mình hổng ở mức nào.

Đủ các dạng câu của đề thi tốt nghiệp THPT: 25 câu trắc nghiệm nhiều phương án, 10 câu đúng – sai, 24 câu trả lời ngắn và 25 câu tự luận. Quen tay cả bốn dạng câu thì vào phòng thi không mất thời gian làm quen cách hỏi.

Có thể làm trực tiếp trên trang, hoặc tải đề bài cả chương dưới dạng PDF miễn phí để in ra làm trên giấy; bản lời giải chi tiết cả chương tải riêng. Học xong chương nào nên luyện ngay chương ấy, rồi làm đề thi thử Toán lớp 12 để kiểm tra lại toàn bộ chương trình.