Đề thi thử online cuối kỳ 2 môn Toán lớp 12 - full tự luận - đề 008

Câu 1. Một trung tâm sửa chữa thiết bị theo dõi hai quy trình $A$ và $B$ trên các ca thuộc hai nhóm: **ca khó** và **ca dễ**. Kết quả được coi là **thành công** nếu ca ấy sửa xong trong ngày. Số liệu ghi lại:
<table><tr><th>Nhóm ca khó</th><th>Số ca sửa xong trong ngày</th><th>Số ca không</th><th>Tổng số ca</th></tr><tr><td>Quy trình $A$</td><td>$128$</td><td>$98$</td><td>$226$</td></tr><tr><td>Quy trình $B$</td><td>$17$</td><td>$22$</td><td>$39$</td></tr></table>
<table><tr><th>Nhóm ca dễ</th><th>Số ca sửa xong trong ngày</th><th>Số ca không</th><th>Tổng số ca</th></tr><tr><td>Quy trình $A$</td><td>$40$</td><td>$11$</td><td>$51$</td></tr><tr><td>Quy trình $B$</td><td>$146$</td><td>$54$</td><td>$200$</td></tr></table>
Một bản tin dựa vào **tỉ lệ thành công gộp** của cả hai nhóm và kết luận: “Quy trình $B$ hiệu quả hơn quy trình $A$, nên hãy chuyển sang dùng $B$.”
Lưu ý: số liệu trên là số liệu **quan sát** — việc mỗi ca được giao cho quy trình nào là do thực tế điều phối, không phải do bốc ngẫu nhiên.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases}x = -4 \\ y = 2 + t \\ z = -3 - t\end{cases}$ và $d_2: \begin{cases}x = -1 + s \\ y = -2 + 2s \\ z = 2 - s\end{cases}$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $z = 2$ và $z = 11$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 2x - y + 9 = 0$ và $(Q): mx - 2y - z + 8 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tìm $m$ để $(P)$ vuông góc với $(Q)$.

Câu 5. Một cánh tay robot gắp phôi cần đưa đầu gắp từ $A$ tới $B$ trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị $\text{m}$), nhưng bắt buộc phải **chạm một lần** vào một trong ba mặt dẫn hướng phẳng $\left(\alpha\right)$, $\left(\beta\right)$, $\left(\gamma\right)$.
<table><tr><th>Dữ kiện</th><th>Giá trị</th></tr><tr><td>Điểm đầu</td><td>$A\left(2; 8; 5\right)$</td></tr><tr><td>Điểm cuối</td><td>$B\left(7; 1; 9\right)$</td></tr><tr><td>Tấm $\left(\alpha\right)$</td><td>$y + z = 24$</td></tr><tr><td>Tấm $\left(\beta\right)$</td><td>$2y + z = 5$</td></tr><tr><td>Tấm $\left(\gamma\right)$</td><td>$2x + z = 26$</td></tr><tr><td>Tâm vùng cấm</td><td>$I\left(10; 7; 9\right)$</td></tr><tr><td>Bán kính vùng cấm</td><td>$R = 6{,}5$ $\text{m}$</td></tr></table>
Bộ điều khiển có **ba chế độ**, ứng với ba mặt dẫn hướng. Ở mỗi chế độ nó tự chọn điểm chạm $P$ trên mặt dẫn hướng ấy sao cho đường gấp khúc $A \to P \to B$ **ngắn nhất**; người vận hành **không** đổi được điểm chạm, chỉ được chọn giữa đúng ba tuyến ấy.
Vùng cấm là hình cầu tâm $I$ bán kính $R$: một tuyến bị loại nếu **có đoạn nào của nó** (kể cả chỉ một phần) nằm trong hoặc chạm hình cầu.
Biết $A$ và $B$ cùng phía với mỗi mặt dẫn hướng và không thuộc mặt dẫn hướng nào. Trong ba tuyến, chọn tuyến **hợp lệ ngắn nhất**.
Dựng hai tuyến mà bộ điều khiển đề xuất (nêu rõ vì sao phép phản xạ cho tuyến ngắn nhất của mỗi chế độ), kiểm vùng cấm cho từng tuyến, rồi tính phần dài thêm so với đoạn $AB$ của tuyến được chọn, làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 6. Một ống đựng bút có $7$ chiếc bút màu xanh và $8$ chiếc bút màu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai chiếc bút, mỗi lần lấy một chiếc bút và không hoàn lại. Tính xác suất để hai chiếc bút lấy ra khác màu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 7. Cho parabol $(P): y=x^{2} + 4x + 4$ và đường thẳng $d: y=16$.

Câu 8. Biết $\int_{0}^{5} f(x)\,dx = -5$ và $\int_{0}^{5} g(x)\,dx = -5$. Tính $\int_{0}^{5} [5f(x) + g(x)]\,dx$.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x - 4y + 6z + 3 = 0$. Gọi $\vec n = (a; b; c)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ đọc trực tiếp từ các hệ số của $x$, $y$, $z$ trong phương trình. Tính $a^2 + b^2 + c^2$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y + 6}{3} = \dfrac{z}{-2}$ và $d_2: \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y + 5}{-2} = \dfrac{z - m}{-3}$. Tìm $m$ để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.