Đề thi thử online cuối kỳ 2 môn Toán lớp 12 - full tự luận - đề 023

Câu 1. Một hệ dẫn đường trong nhà xưởng cần đưa đầu phát tín hiệu từ $A$ tới $B$ trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị $\text{m}$), nhưng bắt buộc phải **chạm một lần** vào một trong ba tấm phản xạ phẳng $\left(\alpha\right)$, $\left(\beta\right)$, $\left(\gamma\right)$.
<table><tr><th>Dữ kiện</th><th>Giá trị</th></tr><tr><td>Điểm đầu</td><td>$A\left(0; 11; 12\right)$</td></tr><tr><td>Điểm cuối</td><td>$B\left(4; 6; 0\right)$</td></tr><tr><td>Tấm $\left(\alpha\right)$</td><td>$2y + z = 36$</td></tr><tr><td>Tấm $\left(\beta\right)$</td><td>$x = -7$</td></tr><tr><td>Tấm $\left(\gamma\right)$</td><td>$y + z = 35$</td></tr><tr><td>Tâm vùng cấm</td><td>$I\left(3; 4; 7\right)$</td></tr><tr><td>Bán kính vùng cấm</td><td>$R = 5{,}5$ $\text{m}$</td></tr></table>
Bộ điều khiển có **ba chế độ**, ứng với ba tấm phản xạ. Ở mỗi chế độ nó tự chọn điểm chạm $P$ trên tấm phản xạ ấy sao cho đường gấp khúc $A \to P \to B$ **ngắn nhất**; người vận hành **không** đổi được điểm chạm, chỉ được chọn giữa đúng ba tuyến ấy.
Vùng cấm là hình cầu tâm $I$ bán kính $R$: một tuyến bị loại nếu **có đoạn nào của nó** (kể cả chỉ một phần) nằm trong hoặc chạm hình cầu.
Biết $A$ và $B$ cùng phía với mỗi tấm phản xạ và không thuộc tấm phản xạ nào. Trong ba tuyến, chọn tuyến **hợp lệ ngắn nhất**.
Dựng hai tuyến mà bộ điều khiển đề xuất (nêu rõ vì sao phép phản xạ cho tuyến ngắn nhất của mỗi chế độ), kiểm vùng cấm cho từng tuyến, rồi tính phần dài thêm so với đoạn $AB$ của tuyến được chọn, làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -2x + y + 2z - 1 = 0$ và đường thẳng $d: \begin{cases}x = 0 \\ y = 3 - t \\ z = -4 - t\end{cases}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ (đơn vị độ).

Câu 3. Một hộp có $20$ tấm thẻ được chia thành bốn nhóm: $3$ thẻ vừa mang tính chất $A$ vừa mang tính chất $B$, $8$ thẻ chỉ mang tính chất $A$, $4$ thẻ chỉ mang tính chất $B$ và $5$ thẻ không mang tính chất nào.
Chọn ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp.
Biết tấm thẻ được chọn không mang tính chất $B$, tính xác suất nó mang tính chất $A$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4. Một xưởng đóng tàu dùng máy quét laser kiểm tra một phao cầu định vị, đặt trong hệ toạ độ $Oxyz$ với đơn vị $\text{cm}$. Máy cắt phao bằng ba mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ và ghi lại, với mỗi lát cắt, **tâm** đường tròn lát cắt (theo hai trục còn lại) cùng **bán kính** của nó.
<table><tr><th>Mặt phẳng lát cắt</th><th>Tâm đường tròn lát cắt</th><th>Bán kính lát cắt</th></tr><tr><td>$x = 14$</td><td>$\left(y; z\right) = \left(9; -4\right)$</td><td>$44$</td></tr><tr><td>$y = 34$</td><td>$\left(x; z\right) = \left(-3; -4\right)$</td><td>$37$</td></tr><tr><td>$z = -8$</td><td>$\left(x; y\right) = \left(-3; 9\right)$</td><td>$47$</td></tr></table>
Biết ba **tâm** lát cắt đều đúng, nhưng **đúng một** trong ba **bán kính** đã bị ghi sai; nhãn ba mặt phẳng cũng đúng.
Nhắc lại: mặt phẳng cách tâm mặt cầu một khoảng $d$ thì cắt mặt cầu bán kính $R$ theo đường tròn bán kính $\rho$ với $\rho^2 = R^2 - d^2$.
Tìm tâm và bán kính mặt cầu, chỉ rõ lát cắt nào bị ghi sai bán kính và giải thích vì sao chỉ cần ba tổng kiểm là định vị được nó, rồi viết phương trình mặt cầu ở dạng khai triển.

Câu 5. Một trạm cấp nước theo dõi lưu lượng nước trong khoảng thời gian $t \in \left[1; 7\right]$ (giờ). Đồng hồ tại chỗ chỉ lưu lượng theo công thức
$q_{\text{đo}}\left(t\right) = \dfrac{12}{5}t^{2} + \dfrac{96}{5}t + \dfrac{159}{2}$ ($\text{m}^3/\text{giờ}$),
nhưng đồng hồ bị lệch **tuyến tính**: $q_{\text{đo}} = a\,q_{\text{thật}} + b$ với $a > 0$; hai hằng số $a$, $b$ chưa biết.
Hai dữ kiện hiệu chuẩn: tại thời điểm $t_0 = 5$ giờ, thiết bị chuẩn đo được lưu lượng thật là $98$ $\text{m}^3/\text{giờ}$; và tổng thể tích nước **thật** chảy qua trong cả khoảng $\left[1; 7\right]$ là $504$ $\text{m}^3$ (do bể chuẩn cân đo).
Tìm hai hệ số hiệu chuẩn $a$, $b$, rồi tính thể tích thật chảy qua trong khoảng $\left[1; 2\right]$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x - y - 2z - 8 = 0$ và $(Q): mx + y - z + 2 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tìm $m$ để $(P)$ vuông góc với $(Q)$.

Câu 7. Cho $f(x) = x^{4}$. Tính $\int_{0}^{6} x \cdot x^{4}\,dx$.

Câu 8. Trong lớp có $39$ học sinh: $25$ nam và $14$ nữ.
Trong số nam có $16$ em đạt giải, trong số nữ có $8$ em đạt giải.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết học sinh đó là nam, tính xác suất em ấy đạt giải.

Câu 9. Cho hai hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $\int f(x)\,dx = 2x^{2} + 2x + C$ và $\int g(x)\,dx = -2x^{3} - x + C$. Tính giá trị của biểu thức $4f(-2) - 3g(-2)$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \begin{cases}x = -2 \\ y = 2 - t \\ z = -1\end{cases}$ và $d_2: \begin{cases}x = 0 \\ y = s \\ z = -2 - s\end{cases}$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ (làm tròn đến hàng phần trăm).